Меню Закрыть

ОГЭ по математике 2019. ТТЗ Ященко. 14 вариантов. Вариант 9

ОГЭ по математике 9 класс 2019 года под редакцией И. В. Ященко (14 вариантов) – Вариант 9

При написании данной работы “ОГЭ по математике 2019. ТТЗ Ященко. 14 вариантов. Вариант 9” было использовано пособие “ОГЭ 2019. Математика. 14 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ОГЭ  И. Р. Высоцкий, Л. О. Рослова, Л. В. Кузнецова, В. А. Смирнов, А. В. Хачатурян, С. А. Шестаков, Р. К. Гордин, А. С. Трепалин, А. В. Семенов, П. И. Захаров; под редакцией И. В. Ященко. – М.: Издательство “Экзамен”, МЦНМО, 2019″.

Часть 1

Модуль “Алгебра”


  1. Найдите значение выражения

    \[ \frac{1}{4} - \frac{3}{25} \]

Решение

    \[ \frac{1}{4} - \frac{3}{25} = \frac{1 * 25}{4 * 25} - \frac{3 * 4}{25 * 4} = \frac{25}{100} - \frac{12}{100} =  \frac{13}{100} = 0,13 \]

Ответ:

0,13


  1. Куриные яйца в зависимости от их массы подразделяют на пять категорий: высшая, отборная, первая, вторая и третья. Используя данные, представленные в таблице, определите, к какой категории относиться яйцо массой 53,7 г.
Категория Масса одного яйца, не менее, г
Высшая 75,0
Отборная 65,0
Первая 55,0
Вторая 45,0
Третья 35,0
  1. отборная
  2. первая
  3. вторая
  4. третья
Решение

Из таблицы видно, что 53,7 г соответсвует второй категории – ответ 3.

Ответ:

3


  1. На координатной прямой отмечены числа a и b.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-9-variant-01

Какое из приведённых утверждений для этих чисел неверно?

  1. ab < 0
  2. ab2 > 0
  3. a + b > 0
  4. a – b < 0
Решение

Из графика видно, что b – это отрицательное число, а a – положительное. Причем, a находится значительно дальше от нуля, чем b.

1) умножение отрицательного числа на положительное даёт отрицательное число.

утверждение ab < 0 верное

2) квадрат отрицательного числа всегда даёт положительное число.

утверждение ab2 > 0  верное

3) так как a находится гораздо дальше от нуля, чем b, то результатом их суммы будет положительное число.

утверждение a + b > 0  верное

4) разницей a и b будет положительное число

утверждение a – b < 0  неверное

Ответ:

4


  1. Найдите значение выражения

    \[ 9 * 3^{-1} \]

Решение

Определение: При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, основание остается неизменным.

Определение: При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели отнимаются, а основание остается неизменным.

    \[ 9 * 3^{-1} = 3^2 * 3^{-1}  = 3^{2 + (-1)}=3^1 = 3 \]

Ответ:

3


  1. На графике изображена зависимость атмосферного давления от высоты над уровнем моря. На горизонтальной оси отмечена высота над уровнем моря в километрах, на вертикальной – давление в миллиметрах ртутного столба. Определите по графику, на какой высоте атмосферное давление равно 480 миллиметрам ртутного столба. Ответ дайте в километрах.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-9-variant-02

Решение

На вертикальной оси найдем отметку, равна 480 миллиметрам ртутного столба. Проведём горизонтальную прямую до пересечения ее с графиком зависимости.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-9-variant-03

Отпустив от точки пересечения прямую до горизонтальной оси определяем высоту – 3,5 км

Ответ:

3,5


  1. Решите уравнение (-5x + 3)(-x +6) = 0

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Решение

Уравнение состоит из произведения двух скобок.

Справедливым будет утверждение, что данное уравнение равно нуля если одна из скобок равна нулю. Следовательно

-5x + 3 = 0

-x +6 = 0

1) решим первое уравнение

-5x + 3 = 0

-5x = -3

5x = 3

x = 3/5 = 0,6

2) решим второе уравнение

-x +6 = 0

-x = -6

x = 6

Итак, у данного уравнения два корня: 0,6 и 6. Первый из которых наименьший

Ответ:

0,6


  1. Для изготовления фарша взяли говядину и свинину в отношении 11 : 39. Сколько процентов фарша составляет свинина?
Решение

Найдём общее число долей мяса:

11 + 39 = 50

Итак

50 долей мяса – это 100% фарша

39 долей мяса – это x% фарша

Найдем процентное содержание свинины:

39 : 50 * 100 = 78 (%)

Содержание свинины в фарше составляет 78%

Ответ:

78


  1. На диаграмме показано содержание питательных веществ в какао, молочном шоколаде, творожных сырках и сгущенном молоке. Определите по диаграмме, в каких продуктах суммарное содержание жиров и углеводов превышает 50%.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-9-variant-04

*к прочему относятся вода, витамины и минеральные вещества

  1. какао
  2. шоколад
  3. сырки
  4. сгущенном молоке
Решение

В данном задании опечатка в легенде.

Будем исходить из логики. Обозначение белков и жиров нам известно, значит третье – это углеводы, а четвёртое – это остальные питательные элементы.

На диаграммах данные питательные вещества представлены в том же порядке.

Если круг – это 100%, то 50% – это половина круга.

На диаграмме хорошо видно, что более половины круга занимают жиры и углеводы занимают в:

  • шоколад
  • сгущенное молоко

Ответ:

24


  1. Родительский комитет закупил 25 пазлов для подарков детям в связи с окончанием учебного года, из них 24 с машинками и 1 с видом города. Подарки распределяются случайным образом между 25 детьми, среди которых есть Андрюша. Найдите вероятность того, что Андрюше достанется пазл с машинкой.
Решение

Общее количество пазлов = 25

Пазлов с машинкой = 24

Так как общее количество пазлов равно общему количеству детей, то каждый ребёнок получит пазл.

Отсюда

P(A) = 24 : 25 = 0,96

Вероятность того, что Андрюше достанется пазл с машинкой = 0,96

Ответ:

0,96


  1. Установите соответствие между функциями и их графиками.

Функции:

А) y = 2x + 6

Б) y = -2x – 6

В) y = -2x + 6

Графики:

OGE-mat-9-klass-2019-14var-9-variant-05

В таблице под каждой буквой укажите соответсвующий номер.

Решение

Итак, все функции представлены линейными уравнениями и на графиках.

А) Рассмотрим функцию y = 2x + 6

При x=0,

y = 2x + 6 = 2 * 0 + 6 =6

При y=0

2x + 6 = 0

x = -6 /2 = -3

Функция А соответсвует графику 1

Б) Рассмотрим функцию y = -2x – 6

При x=0,

y = -2x – 6 = -2 * 0 – 6 = -6

При y=0

-2x – 6 = 0

x = 6 /-2 = -3

Функция Б соответсвует графику 3

В) Рассмотрим функцию y = -2x + 6

При x=0,

y = -2x + 6 = -2 * 0 + 6 = 6

При y=0

-2x + 6 = 0

x = -6 /-2 = 3

Функция Б соответсвует графику 2

Ответ:

А – 1 ; Б – 3 ; В – 2


  1. Геометрическая прогрессия (bn) задана условиями:

    \[ b_1 = 3 ,  b_{n+1} = 4b_n   \]

Найдите b4

Решение

Для решения мы будем использовать формулу:

    \[ b_n = b_1 * q^{n-1} \]

Для начала найдем значение b2, это поможет нам найти значение q

    \[ b_2 = 4b_n = 4b_1 = 4 * 3 = 12 \]

Теперь находим чему равен q

    \[ b_n = b_1 * q^{n-1} \]

    \[ q^{n-1} = \frac{b_n}{b_1} = \frac{b_2}{b_1} = \frac{12}{3} = 4 \]

    \[ b_4 = b_1 * q^3 = 3 * 4^3 = 3 * 64 = 192 \]

Ответ:

192


  1. Найдите значение выражения

    \[ (x - 6) : \frac{x^2 - 12x + 36}{x + 6}\]

при

    \[ x = -10 \]

Решение

Выполним преобразование дроби:

    \[ (x - 6) : \frac{x^2 - 12x + 36}{x + 6} =  (x - 6) : \frac{(x - 6)(x - 6)}{x + 6} =  (x - 6) * \frac{x + 6}{(x - 6)(x - 6)} = \]

    \[ = \frac{x + 6}{x - 6} \]

подставим значение x в полученную формулу

    \[ \frac{x + 6}{x - 6} = \frac{-10 + 6}{-10 - 6} =  \frac{-4}{-16} =  \frac{1}{4} = 0,25 \]

Ответ:

0,25


  1. Перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта позволяет формула tF = 1,8tc + 32, где tc – температура в градусах Цельсия, tF – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует -67 градусов по шкале Фаренгейта?
Решение

Исходная формула

    \[ t_F = 1,8t_c +  32 \]

Отсюда tc будет равно

    \[ t_c = \frac{t_F -  32}{1,8} \]

По условию задачи известно:

tF = -67

Подставим значения в формулу:

    \[ t_c = \frac{t_F -  32}{1,8} = \frac{-67 -  32}{1,8} = \frac{-99}{1,8} = -55 \]

Ответ:

-55


  1. При каких значениях a выражение 6a + 7 принимает только отрицательные значения?
  1. a > -6/7
  2. a > -7/6
  3. a < -7/6
  4. a < -6/7
Решение

Решим неравенство.

6a + 7 < 0

6a < -7

a < -7/6

Данному решению удовлетворяет ответ под номером 3

Ответ:

3


Модуль “Геометрия”


  1. Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 8 минут?

OGE-mat-9-klass-2019-14var-9-variant-06

Решение

Часы – это круг, равный 360°

В одном часе 60 минут. Значит 1 минута равна:

360 : 60 = 6°

6 * 8 = 48° – угол, который описывает минутная стрелка за 8 минут

Ответ:

48°


  1. Высота равностороннего треугольника равна 11√3. Найдите его сторону.
Решение

Выполним чертёж, согласно заданного условия:

OGE-mat-9-klass-2019-14var-9-variant-07

Введём некоторые обозначения:

AB = BC = AC = 2a
AH = HC = AC : 2 = 2a : 2 = a
BH = 11√3

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆HBC

Согласно теореме Пифагора имеем

c2 = a2 + b2

(2a)= (11√3)2 + a2

4a2 = 112*3 + a2

4a2 – a2= 112*3

3a2= 112*3

a2= (112*3 ) : 3 = 112

a = 11

HC = a = 11

Отсюда

AC = 2a = 11 * 2 = 22

Сторона равностороннего треугольника равна 22

Ответ:

22


  1. В угол C величиной 18° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B, точка O – центр окружности. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-9-variant-08

Решение

Известно, что касательная образует с радиусом перпендикуляр в точке касания.

Следовательно углы ∠CAO и ∠OBC прямые и равны = 90°

Определение: Сумма углов четырёхугольника равна 360°

Отсюда

∠BCA + ∠CAO + ∠OBC + ∠AOB = 360°

18° + 90° + 90° + ∠AOB = 360°

198° + ∠AOB = 360°

∠AOB = 360° – 198° = 162°

Угол AOB равен 162°

Ответ:

162°


  1. Сторона ромба равна 8, а расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до неё равно 2. Найдите площадь ромба.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-9-variant-09

Решение

Выполним обозначения.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-9-variant-10

 

Данную задачу можно решить 2-мя способами.

Способ 1

Определение: Диагонали делят ром на четыре равных треугольника

Площадь треугольника равна произведению половины основания треугольника (a) на его высоту (h)

S = 1/2 ah = 1/2 (2 * 8) = 1/2 * 16 = 8

Так как таких треугольников 4, то общая площадь будет равна:

8 * 4 = 32

Способ 2

Площадь ромба равна:

S = ah

где a – длина основания, h – высота

Так как треугольник AOD и BOC раны, то и их высоты равны.

В таком случае высота Высота ромба равна OH * 2 = 2 * 2 = 4

S = ah = 8 * 4 = 32

Ответ:

32


  1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображен треугольник. Найдите его площадь.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-9-variant-11

Решение

Площадь треугольника равна произведению половины основания треугольника (a) на его высоту (h)

Основание = 8 клеток

Высота = 2 клетки

S = 1/2 ah = 1/2 (8 * 2) = 1/2 * 16 = 8

Площадь треугольника равна 8

Ответ:

8


  1. Какие из следующих утверждений верны?
  1. Через заданную точку плоскости можно провести единственную прямую.
  2. Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.
  3. Внешний угол треугольника больше несмежного с ним внутреннего угла.

В ответ запишите номера выбранных утверждений.

Решение

Данное задание не является задачей. Вопросы, перечисленные здесь необходимо знать наизусть и уметь на них отвечать.

  1. Неверно – Через заданную точку плоскости можно провести бесконечное множество прямых
  2. Верно – Это свойство диагоналей прямоугольника.
  3. Верно – Данное утверждение верно – это теорема.

Ответ:

23


Часть 2

Модуль “Алгебра”


  1. Решите уравнение x4 = (x – 20)2
Решение

Раскроем скобки

x= (x−20)2

x4 − (x−20)2 = 0

(x2 + (x − 20)) * (x2 − (x − 20)) = 0

(x2 + x − 20) * (x2 − x + 20) = 0

Так как полученное уравнение имеет две скобки, то справедливым будет:

x2 + x − 20 = 0

или

x2 − x + 20 = 0

Решим оба уравнения

1) x2 + x − 20 = 0

Найдем дескриминант

a=1,  b=1,  c=-20

D = b2 – 4ac = 12 – 4*1*(-20) = 1 + 80 = 81

Дискриминант положительный – данное уравнение имеет два корня

Найдем корни уравнения:

    \[x = \frac{ -b \pm \sqrt{D} }{2a }\]

    \[ x_1 = \frac{ -1 + \sqrt{81} }{2 * 1}\]

    \[ x_1 = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2}\]

    \[ x_1 = 4 \]

    \[ x_2 = \frac{ -1 - 9 }{2 * 1}\]

    \[ x_2 = \frac{-10}{2}\]

    \[ x_2 = -5 \]

Корнями данного уравнения являются -5; 4

2) x2 − x + 20 = 0

Найдем дескриминант

a=1,  b=-1,  c=20

D = b2 – 4ac = (-1)2 – 4*1*20 = 1 – 80 = -79

Значение дискриминанта отрицательное – данное уравнение не имеет решения

Ответ:

-5; 4


  1. Из двух городов одновременно на встречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 48 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 168 км, скорость первого велосипедиста равна 15 км/ч, скорость второго – 30 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист до места встречи.
Решение

Имеем

V1 = 15 км/ч
V2 = 30 км/ч
S = 168 км

Преобразуем минуты стоянки в часы

48 мин = 48 /60 = 0,8

Пусть

t1 = x – время, потраченное на поездку первым велосипедистом
t2 = (x + 0,8) – время, потраченное на поездку вторым велосипедистом

Отсюда

S1 = 15 * x
S2 = 30 * (x + 0,8)

Получаем

S1 + S2 = S

15x + 30 * (x + 0,8) = 168

15x + 30x + 30*0,8 = 168

15x + 30x + 24 = 168

45x = 168 – 24 = 144

x = 144 : 45 = 3,2

S1 = 15 * x = 3,2 * 15 = 48

S2 = 168 – 48 = 120

Ответ:

120


  1. Постройте график функции

    \[ y= \left\{\begin{matrix} x^2 + 4x +4 ,  x \ge -1 \\ -\frac{9}{x} , x < -1 \end{matrix}\right.  \]

и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком одну или две общие точки.

Ответ:

0; [9; +∞)

[/su_spoiler]
  1. Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соотвественно. Найдите BH, если PK = 15.
Решение

Выполним чертёж, согласно заданного условия:

OGE-mat-9-klass-2019-14var-9-variant-15

Дано:

PK = 15
∠ABC = 90º (по условию)
∠CHB = 90º (по условию)

Определение: Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а обе стороны пересекают эту окружность.

Определение: Угол, опирающийся на диаметр окружности является прямым.

Определение: Величина вписанного угла равна половине дуги, на которую он опирается.

Отталкиваясь от последнего определения имеем:

  • величина вписанного угла ∠PBK = 90º (по условию)
  • дуга на которую он опирается – PHK

PHK = ∠PBK * 2 = 90 * 2 = 180º

Хорда PK делит круг на две равные дуги по  180º, следовательно PK – это диаметр окружности.

Определение: Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

CA – это касательная пройденная к окружности, а HB – перпендикуляр к касательной CA (по условию).

Следовательно HB – это диаметр окружности.

PK = HB = 15

Ответ:

15


  1. Биссектрисы углов B и C трапеции ABCD пересекаются в точке  O, лежащей на стороне AD. Докажите, что точка O равноудалена от прямых AB, BC и CD.
Решение

Выполним чертёж, согласно заданного условия и введём обозначения:

OGE-mat-9-klass-2019-14var-9-variant-14

Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую.

Следовательно, чтобы доказать, что точка O равноудалена от прямых AB, BC и CD , требуется доказать равенство перпендикуляров, проведённых из точки O к прямым, содержащим стороны трапеции AB, BC и CD.

AB ⊥ OM
BC ⊥ ON
CD ⊥ OK

По условию задачи в трапеции ABCD проведены биссектрисы углов B и C, который пересекаются в точке O. По свойству биссектрисы имеем следующее равенство углов:

  • ∠ABO = ∠OBC
  • ∠BCO = ∠OCD

1) Рассмотрим треугольники ∆MBO и ∆NBO.

∠BMO=90º, ∠BNO=90º (по условию задачи).

Так как угол ∠MBN разделён биссектрисой (по условию), то углы ∠MBO и ∠NBO равны.

Гипотенуза BO у обоих треугольников общая.

Следовательно прямоугольные треугольники ∆MBO и ∆NBO равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: MO = NO.

2) Аналогичное заключаем из равенства треугольников ∆ONC и ∆OKC, т.е. стороны NO = KO.

Отсюда получаем, что

MO = NO = KO

Утверждение доказано.


  1. Окружности радиусов 45 и 90 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D – на второй. При этом AC и BD – общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
Решение

Выполним чертёж согласно условия:

OGE-mat-9-klass-2019-14var-9-variant-13

Дано:

OA = R1 = 45 – радиус первого круга
FC = R2 = 90 – радиус второго круга

Линия, соединяющая центры окружностей проходит через точку их касания и равна сумме радиусов этих окружностей:

OF = R1 + R2 = 45 + 90 = 135

Проведём из точки O перпендикуляр OM к отрезку CF. Точку их пересечения обозначим через М.

Прямая OM параллельна и равна прямой AC.

OM || AC
OM = AC

Рассмотрим треугольник ∆OMF. Это прямоугольный треугольник, гипотенуза которого OF = 135

Его катет FM равен

FM = CF – CM

так как пряма  OM параллельна AC, то в таком случае AO = CM = 45

Следовательно FM будет равна

FM = CF – CM = 90 – 45 = 45

Зная длину катета и гипотенузы прямоугольного треугольника ∆OMF, найдем длину его второго катета OM через теорему Пифагора

OF2 = OM2 + FM2

OM2 = OF2 – FM2

OM2 = 1352 – 452 = 18225 – 2025 = 16200

OM = √16200

Проведём из точки B перпендикуляр BN к прямой CD. Точку их пересечения обозначим через N.

Полученный треугольник ∆BND является подобным треугольнику ∆OMF по двум углам:

  • оба треугольника прямоугольные, а значит их углы ∠BND и ∠OMF равны
  • углы ∠DBN и ∠FOM также равны, поскольку образованны прямыми: одна из которых параллельна прямой соединяющей центры окружностей, а другая параллельна одной из касательных, проведённых к этим окружностям.

Учитывая подобие этих треугольников, справедливым будет следующее соотношение:

    \[ \frac{BN}{BD} = \frac{OM}{OF} \]

BD = AC = OM = √16200

Найдем из этой формулы BN

    \[ BN = \frac{OM * BD}{OF} = \frac{\sqrt{16200} * \sqrt{16200}}{135} = \frac{16200}{135} = 120 \]

Расстояние между прямыми AB и CD равно 120

Ответ:

120

Похожие посты