Меню Закрыть

ОГЭ по математике 2019. ТТЗ Ященко. 14 вариантов. Вариант 10

ОГЭ по математике 9 класс 2019 года под редакцией И. В. Ященко (14 вариантов) — Вариант 10

При написании данной работы «ОГЭ по математике 2019. ТТЗ Ященко. 14 вариантов. Вариант 10» было использовано пособие «ОГЭ 2019. Математика. 14 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ОГЭ  И. Р. Высоцкий, Л. О. Рослова, Л. В. Кузнецова, В. А. Смирнов, А. В. Хачатурян, С. А. Шестаков, Р. К. Гордин, А. С. Трепалин, А. В. Семенов, П. И. Захаров; под редакцией И. В. Ященко. — М.: Издательство «Экзамен», МЦНМО, 2019″.

Часть 1

Модуль «Алгебра»


  1. Найдите значение выражения

    \[ \frac{1}{\frac{1}{24} + \frac{1}{56}} \]

Решение

Найдём сумму дробей в знаменателе. Для этого приведём их к общему знаменателю.

    \[ \frac{1}{24} + \frac{1}{56} = \frac{1 * 7}{24 * 7} + \frac{1 * 3}{56 * 3} = \frac{7}{168} + \frac{3}{168} = \]

    \[ = \frac{7 + 3}{168} = \frac{10}{168} \]

Подставляем в первоначальное выражение

    \[ \frac{1}{\frac{10}{168}} = \frac{1} : \frac{10}{168} = \frac{1} * \frac{168}{10} = \frac{168}{10} = 16,8 \]

Ответ:

16,8


  1. В таблице приведены размеры штрафов, установленные на территории России с 1 сентября 2013 года, за превышение максимальной разрежённой скорости, зафиксированное с помощью средств автоматической фиксации.
Превышение скорости, км/ч 21-40 41-60 61-80 81 и более
Размер штрафа, руб. 500 1000 2000 5000

Какой штраф должен заплатить владелец автомобиля, зафиксированная скорость которого составила 123 км/ч на участке дороги с максимально разрешённой скоростью 80 км/ч?

  1. 500 рублей
  2. 1000 рублей
  3. 2000 рублей
  4. 5000 рублей
Решение

Определим, на сколько была превышена допустимая скорость

123 — 80 = 43 (км/ч)

Исходя из таблицы, этому превышению соответсвует штраф 1000 рублей — ответ 2

Ответ:

2


  1. Одно из чисел 4/7; 6/7; 8/7; 13/7 отмечено на прямой точкой.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-10-variant-01

Какое это число?

  1. 4/7
  2. 6/7
  3. 8/7
  4. 13/7
Решение

Точки на прямой представлены в виде десятичной дроби, поэтому требуется числа из условия перевести в десятичные дроби

4/7 = 4 : 7 = ~0,57

6/7 = 6 : 7 = ~0,85

8/7 = 8 : 7 = ~1,14 (данную дробь можно было не преобразовывать, поскольку числитель в ней больше знаменателя, значит результат > 1)

13/7 = 13 : 7 = ~1,85 (данную дробь можно было не преобразовывать, поскольку числитель в ней больше знаменателя, значит результат > 1)

Больше всего подходит ответ 2 — 6/7

Ответ:

2


  1. Найдите значение выражения

    \[ 2^5 * 2^{-6} \]

Решение

Определение: При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, основание остается неизменным.

    \[ 2^5 * 2^{-6} = 2^{5 + (-6)} = 2^{5 - 6} = 2^{-1} \]

Определение: Дробь в степени с отрицательным показателем равна обратному этой дроби числу в степени с показателем, противоположным данному

    \[ 2^{-1} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2} = 0,5 \]

Ответ:

0,5


  1. На графике изображена зависимость атмосферного давления от высоты над уровнем моря. На горизонтальной оси отмечена высота над уровнем моря в километрах, на вертикальной — атмосферное давление в миллиметрах ртутного столба. Определите по графику, на какой высоте атмосферное давление равно 200 миллиметрам ртутного столба. Ответ дайте в километрах.

Решение

На вертикальной оси найдем отметку, равна 200 миллиметрам ртутного столба. Проведём горизонтальную прямую до пересечения ее с графиком зависимости.

Отпустив от точки пересечения прямую до горизонтальной оси определяем высоту — 9,5 км

Ответ:

9,5


  1. Найдите корень уравнения

    \[ \frac{12}{x + 5} = -\frac{12}{5} \]

Решение

    \[ \frac{12}{x + 5} = -\frac{12}{5} \]

    \[ \frac{12}{x + 5} * 5= -12 \]

    \[ \frac{60}{x + 5} = -12 \]

    \[ 60 = -12 * (x + 5) \]

    \[ 60 = -12x -60 \]

    \[ -12x = 60 + 60 = 120 \]

    \[ x = 120 : (-12) = -10 \]

Корень уравненя : -10

Ответ:

-10


  1. Средний вес мальчиков того же возраста, что и Гоша, равен 57 кг. Вес Гоши составляет 150% среднего веса. Сколько килограммов весит Гоша.
Решение

57 кг — 100% (средний вес мальчиков того же возраста, что и Гоша)

? кг — 150% — вес Гоши

57 : 100 * 150 = 85,5 (кг) — вес Гоши

Ответ:

85,5


  1. На диаграмме показан возрастной состав населения Бангладеш. Определите по диаграмме, доли населения каких возрастов составляют 25% от всего населения.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-10-variant-04

  1. 0-14 лет
  2. 15-50 лет
  3. 51-64 года
  4. 65 лет и более
Решение

Если круг — это 100%, то 25% — это четверть круга.

На диаграмме хорошо видно, что более четверти круга занимают две возрастные категории:

  • 0-14 лет
  • 15-50 лет

Ответ:

12


  1. На экзамене 25 билетов, Костя не выучил 4 из них. Найдите вероятность того, что. ему попадётся выученный билет.
Решение

Существует два возможных события:

  • Косте попался выученный билет
  • Косте попался невыученный билет

Известно, что сумма всех вероятных событий равна — 1

Тогда вероятность того, что Косте попался не выученный билет равна:

4 : 25 = 0,16

Найдем вероятность того, что Косте попадётся выученный билет:

1 — 0,16 = 0,84

Ответ:

0,84


  1. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Формулы:

1)

    \[ y = \frac{6}{x} \]

2)

y = -\frac{6}{x}

3)

y = \frac{1}{6x}

Графики:

OGE-mat-9-klass-2019-14var-10-variant-05

В таблице под каждой буквой укажите соответсвующий номер.

Решение

Все формулы представлены гиперболами.

  1. Графику А соответсвует функция 2, поскольку функция представлена гиперболой, при положительном x, y будет отрицательным, а при отрицательном x, y будет положительным. Выполним проверку: a) при х = 1,  y = -6x = -6;
  2. Графику Б соответсвует функция 3, поскольку функция представлена гиперболой, а ее ветви сильно приближены к началу координат. Выполним проверку: a) при х = 1,  y = 1/6x = 1/6;
  3. Графику В соответсвует функция 1, поскольку функция представлена гиперболой, при положительном x, y будет положительным, а при отрицательном x, y будет отрицательным. Выполним проверку: a) при х = 1,  y = 6x = 6;

Ответ:

А — 2 ; Б — 3 ; В — 1


  1. Последовательность (an) задана условиями:

    \[ a_1 = 3,  a_{n+1} = a_n + 4  \]

Найдите a10

Решение

Воспользовавшись данной формулой

    \[ a_{n+1} = a_n + 4 \]

найдем второй член a2 данной последовательности

    \[ a_2 = a_1 + 4 = 3 + 4 = 7 \]

Найдем шаг или разность прогрессии d:

    \[ d = a_{n+1} - a_n = a_2 - a_1 = 7 - 3 = 4 \]

Найдите a10

    \[ a_n = a_1 + (n - 1) * d \]

    \[ a_10 = a_1 + (10 - 1) * d = 3 + 9 * 4 = 3 + 36 = 39 \]

a10 = 39

Ответ:

39


  1. Найдите значение выражения

    \[ \frac{a^2 - 25b^2}{5ab} : (\frac{1}{5b} - \frac{1}{a})\]

при

    \[ a = 8\frac{1}{16}, b = 6\frac{3}{16} \]

Решение

Выполним преобразование дроби:

    \[ \frac{a^2 - 25b^2}{5ab} : (\frac{1}{5b} - \frac{1}{a} ) = \frac{a^2 - 25b^2}{5ab} : (\frac{1 * a}{5b * a} - \frac{1 * 5b}{a * 5b} ) = \]

    \[ =\frac{(a + 5b)(a - 5b)}{5ab} : (\frac{a}{5ab} - \frac{5b}{5ab} ) =\frac{(a + 5b)(a - 5b)}{5ab} : (\frac{a - 5b}{5ab} ) = \]

    \[ =\frac{(a + 5b)(a - 5b)}{5ab} * \frac{5ab}{a - 5b}  = a + 5b \]

подставим значения  a и b в полученную формулу

    \[ a + 5b = 8\frac{1}{16} + 5 * (6\frac{3}{16}) = \frac{8 * 16 + 1}{16} + 5 * (\frac{6 * 16 + 3}{16}) =  \frac{129}{16} + 5 * (\frac{99}{16}) = \]

    \[ =  \frac{129}{16} + \frac{495}{16} = \frac{624}{16} = 39 \]

Ответ:

39


  1. Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой tF = 1,8tc + 32, где tc — температура в градусах Цельсия, tF — температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует -100 градусов по шкале Цельсия?
Решение

Исходная формула

    \[ t_F = 1,8t_c +<span style="font-size: small;"> </span> 32 \]

По условию задачи известно:

tс = -100

Подставим значения в формулу:

    \[ t_F = 1,8t_c +<span style="font-size: small;"> </span> 32 = 1,8 * (-100) +<span style="font-size: small;"> </span> 32 = -180 + 32 =-148 \]

Ответ:

-148


  1. Укажите неравенство, которое не имеет решений
  1. x2 + 9x — 79 < 0
  2. x2 + 9x + 79 > 0
  3. x2 + 9x + 79 < 0
  4. x2 + 9x — 79 > 0
Решение

Итак, нам даны два квадратных уравнения:

  1. x2 + 9x — 79
  2. x2 + 9x + 79

Каждое из представленных уравнений — это парабола, направленная ветвями вверх, поскольку коэффициент «а» в них положительный.

В уравнении x2 + 9x — 79 коэффициент «с» отрицательный — т.е. вершина параболы лежит ниже оси х, а значит решением данного уравнения могут быть как положительные так и отрицательные значения. Следовательно неравенства 1) и 4) верны.

В уравнении x2 + 9x + 79 коэффициент «с» положительный — т.е. вершина параболы лежит выше оси х, а значит не может принимать отрицательные значения. Следовательно неравенство 2) — верное, а неравенство 3) — неверное.

Вот графическое представление наших утверждений:

OGE-mat-9-klass-2019-14var-10-variant-06

Ответ:

3


Модуль «Геометрия»


  1. На рисунке изображено колесо с пятью спицами. Сколько спиц в колесе, в котором угол между любыми соседними спицами равен 12°?

OGE-mat-9-klass-2019-14var-10-variant-07

Решение

Известно, что колесо — это круг, составляющий 360°

По условию задачи, угол между любыми соседними спицами равен 12°

360 : 12 = 30 — количество спиц в колесе

Ответ:

30


  1. Точки M и N являются серединами сторон AB и BC трейгольника ABC, сторона AC равна 62. Найдите MN.
Решение

OGE-mat-9-klass-2019-14var-10-variant-08

Так как точки M и N являются серединами сторон AB и BC — то речь идет о средней линии треугольника.

Определение: Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Известно, что средняя линия параллельна третьей стороне (AC) и равна ее половине:

MN = AC : 2 = 62 : 2 = 31

Ответ:

31


  1. Центр окружности,  описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 25. Найдите AC, если BC =48.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-6-variant-08

Решение

Определение: Если центр описанной около треугольника окружности лежит на стороне треугольника, то этот треугольник — прямоугольный.

Значит треугольник ∆ABC — прямоугольный, а угол ∠ACB = 90°

По условию задачи

R = 25
BC = 48

Тогда

AB = 2R = 25 * 2 = 50

Воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения третий сторона AC

    \[ a^2 + b^2 = c^2 \]

    \[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \]

Отсюда

    \[ AC^2 = AB^2 - BC^2 = 50^2 - 48^2 = 2500 - 2304 = 196 \]

    \[ AC = \sqrt{196} = 14 \]

Длина большой AC = 14

Ответ:

14


  1. Найдите величину острого угла параллелограмма ABCD, если биссектриса угла А образует со стороной BC угол, равный 21°. Ответ дайте в градусах.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-8-variant-09

Решение

Обозначим точку пересечения биссектрисы со стороной BC через N

OGE-mat-9-klass-2019-14var-8-variant-10

Углы ∠BNA и ∠NAD равны, как углы при параллельных прямых (BC и AD) и секущей (AN)

∠BNA = ∠NAD = 21°

Определение: Биссектриса делит угол пополам.

Отсюда

∠ABD = ∠BAN + ∠NAD = NAD * 2 = 21° * 2 = 42°

Величина острого угла параллелограмма ABCD равна 42°

Ответ:

42°


  1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображен треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-10-variant-09

Решение

Определение: Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Известно, что средняя линия параллельна третьей стороне (AC) и равна ее половине. На рисунке видно, что сторона AC равна 4 клеткам

AC : 2 = 4 : 2 = 2

Длина средней линии, параллельной стороне AC = 2

Ответ:

2


  1. Какие из следующих утверждений верны?
  1. Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.
  2. Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
  3. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

В ответ запишите номера выбранных утверждений.

Решение

Данное задание не является задачей. Вопросы, перечисленные здесь необходимо знать наизусть и уметь на них отвечать.

  1. Верно — наименьший угол в любом треугольнике всегда не превышает 60 градусов.
  2. Неверно — Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
  3. Верно — Данное утверждение верно — это свойство касательной.

Ответ:

13


Часть 2

Модуль «Алгебра»


  1. Решите неравенство

    \[ \frac{-19}{(x + 5)^2 -6} \ge 0 \]

Решение

Приведённая дробь больше либо равна нулю. При это в числите стоит отрицательное число (-19).

Следовательно дробь будет принимать положительные значения только в том случае, если числитель также будет меньше нуля (при делении «минус» на «минус» получаем плюс) .

В таком случае знаменатель дроби примет вид:

    \[ (x + 5)^2 -6 < 0 \]

Решим данное уравнение

    \[ (x + 5)^2 -6 < 0 \]

    \[ (x + 5)^2 < 6 \]

    \[ (x + 5) < \sqrt{6} \]

    \[ x < \sqrt{6} - 5 \]

Учитывая, что квадратный корень всегда даёт положительное число, то x может быть как положительным, так и отрицательным.

Решением данного уравнения является следующее множество: (-√6 — 5; √6 — 5)

Ответ:

(-√6 — 5; √6 — 5)


  1. Игорь и Паша красят забор за 3 часа. Паша и Володя красят этот же забор за 4 часа, а Володя и Игорь — за 6 часов. За сколько минут мальчики покрасят забор, работая втроём?
Решение

Определим какую часть забора красит каждая пара ребят за единицу времени — например, за 1 час.

Первая пара — 1/3 забора

Вторая пара — 1/4 забора

Третья пара — 1/6 забора

Все три пары за 1 час покрасят:

    \[ \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{1 * 4}{3 * 4} + \frac{1 * 3}{4 * 3} + \frac{1 * 2}{6 * 2} = \]

    \[ = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \]

Получается, что мальчики покрасят за 1 час 3/4 забора. Однако, каждый из мальчиков был учтен два раза, поэтому раздели полученную производительность на 2

    \[ \frac{3}{4} : 2 = \frac{3}{8} \]

Игорь, Паша и Володя покрасят за 1 час 3/8 забора.

Полностью весь забор они покрасят за (помним 1 час = 60 минут):

60 : 3 * 8 = 160 (минут)

Ответ:

160 минут


  1. Постройте график функции

    \[ y = x^2 - | 6x + 1| \]

и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение

y = x2 — | 6x + 1|

Заданная функция имеет модуль, поэтому разложим данную функцию на две подфункции, в зависимости от значения модуля:

  • y = x2 — 6x — 1
  • y = x2 + 6x + 1

Построим графики всех функций

OGE-mat-9-klass-2019-14var-10-variant-10

На графике видно, что обе функции являются параболами, ветви которых направлены вверх (поскольку коэффициент «а» больше нуля).

Первая функция представлена на графике зелёным цветом, а вторая функция — синим.

График функции y = x2 — | 6x + 1| отображён красным пунктиром.

На графике хорошо видно, что функция y=m будет иметь ровно три общие точки только в вершине функции y = x2 + 6x + 1 и в точке пересечения двух функций.

1) Найдём точку пересечения двух графиков — для этого приравняем обе функции.

x2 + 6x + 1 = x2 — 6x — 1

x2 — x2 + 6x + 6x = — 1 — 1

12x = — 2

x = -2/12 = -1/6

y = x2 + 6x + 1 = (-1/6)2 + 6 * (-1/6) + 1 = 1/36 — 1 + 1 = 1/36

2) найдем вершину параболы, представленной функцией y = x2 + 6x + 1

x0 = -b/2a = -6/2 = -3

y0 = x2 + 6x + 1 = (-3)2 + 6 (-3) +1 = 9 — 18 +1 = -8

y=m имеет с графиком ровно три точки в точках: -8; 1/36

Ответ:

-8; 1/36


  1. Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 16 и CH = 4. Найдите высоту ромба.
Решение

Выполним чертёж, согласно заданного условия:

OGE-mat-9-klass-2019-14var-10-variant-11

 

Дано:

DH = 16
CH = 4

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆DAH.

Известно, что ромб — это параллелограмм, все стороны к-рого равны, а углы непрямые.

Длина стороны DC будет равна сумме длин DH и HC

DC = DH + HC = 16 + 4 = 20

Следовательно, сторона DA = DC = 20

Треугольник ∆DAH прямоугольный, поскольку высота проводится к основанию под прямым углом.

Воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения стороны AH:

DA2 = AH2 + DH2

AH2 = DA2 — DH2 = 202 — 162 = 400 — 256 = 144

AH = √144 = 12

Высота AH ромба ABCD равна 12

Ответ:

12


  1. Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках E и F соответсвенно. Докажите, что AE = CF.
Решение

Выполним чертёж, согласно условия:

OGE-mat-9-klass-2019-14var-10-variant-12

Рассмотрим треугольники ∆OAE и ∆OCF

В данных треугольниках углы ∠EOA и ∠COF равны, поскольку являются вертикальными углами.

∠EOA = ∠COF

Сторона AO треугольника ∆OAE равна стороне OC треугольника ∆OCF, поскольку они являются частью диагонали параллелограмма ABCD. Как известно диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам.

AO = OC

Углы ∠EAO и ∠OCF также равны, поскольку являются накрест лежащими углами, образованными двумя параллельными прямыми BC и AD и секущей AC.

В связи с вышеизложенным, мы заключаем, что треугольники ∆OAE и ∆OCF равны по второму признаку равенства треугольников: «сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равна стороне и двум прилежащим к ней углам другого».

У равных треугольников равны и соответственные стороны AE и CF.

AE = CF

Утверждение доказано.


  1. В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 1500, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Решение

Выполним чертёж согласно условия:

OGE-mat-9-klass-2019-14var-10-variant-13

Дано:

P = AB + BC + CD + AD = 200
S = 1500
KO — ?

Определение: если в трапецию вписана окружность, то сумма ее оснований равна сумме боковых сторон.

AB + CD = BC + AD = 200 : 2 = 100

Определение: в равнобедренной трапеции боковые стороны равны.

AB = CD = 100 : 2 = 50

Площадь трапеции ABCD равна

    \[ S_{ABCD} = \frac{a + b}{2} * h \]

где a и b — длины оснований, h — высота

    \[ S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} * BH \]

Найдём из этой формулы BH

    \[ BH = \frac{2 * S_{ABCD}}{AD + BC} = \frac{2 * 1500}{100} = 30 \]

Рассмотрим треугольник ∆ABH

Так как это прямоугольный треугольник, мы можем найти длину AH по теореме Пифагора, поскольку нам известна длина гипотенузы (AB) и длина катета (BH)

    \[ AB^2 = BH^2 + AH^2 \]

    \[ AH^2 = AB^2 - BH^2 = 50^2 - 30^2 = 2500 - 900 = 1600 \]

    \[ AH = \sqrt{1600} = 40 \]

Найдем длины оснований трапеции ABCD

BC + AD = 100

AD = 2 * AH + BC

2 * ВС + 2 * AH = 100

2BC + 2 * 40 = 100

BC = (100–80)/2 = 10 (длина меньшего основания трапеции)

AD= 2 * AH + BC  = 2 * 40 + 10 = 80 + 10 = 90 (длина большего основания трапеции)

Рассмотрим треугольники ∆BCO и ∆AOD

Данные треугольники являются подобными, поскольку:

  • углы ∠BOC и ∠AOD равны, поскольку являются вертикальными углами
  • углы ∠OAD и ∠BCO равны, поскольку являются накрест лежащими углами, образованными двумя параллельными прямыми BC и AD и секущей AC

Тогда будет справедливым отношение:

    \[ \frac{BC}{AD} = \frac{KO}{LO} \]

Введём обозначения:

KO = x
LO = BH — x = 30 — x

    \[ \frac{10}{90} = \frac{x}{30 - x} \]

    \[ \frac{1}{9} = \frac{x}{30 - x} \]

    \[ 9x = 30 - x \]

    \[ 10x = 30 \]

    \[ x = 30 : 10 = 3 \]

KO = 3

Расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания равно 3

Ответ:

3