Меню Закрыть

ОГЭ по математике 2019. ТТЗ Ященко. 14 вариантов. Вариант 11

ОГЭ по математике 9 класс 2019 года под редакцией И. В. Ященко (14 вариантов) — Вариант 11

При написании данной работы «ОГЭ по математике 2019. ТТЗ Ященко. 14 вариантов. Вариант 11» было использовано пособие «ОГЭ 2019. Математика. 14 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ОГЭ  И. Р. Высоцкий, Л. О. Рослова, Л. В. Кузнецова, В. А. Смирнов, А. В. Хачатурян, С. А. Шестаков, Р. К. Гордин, А. С. Трепалин, А. В. Семенов, П. И. Захаров; под редакцией И. В. Ященко. — М.: Издательство «Экзамен», МЦНМО, 2019″.

Часть 1

Модуль «Алгебра»


    1. Найдите значение выражения

    \[ \frac{16}{3,2 * 2} \]

Решение

    \[ \frac{16}{3,2 * 2} = \frac{16}{6,4} = 2,5 \]

Ответ:

2,5


  1. В таблице приведены нормативы по прыжкам через скакалку за 30 сек для учащихся 9 класса.
Мальчики Девочки
Отметка «5» «4» «3» «5» «4» «3»
Кол-во прыжков 58 56 54 66 64 62

Какую отметку получит мальчик, прыгнувший 57 раз за 30 секунд?

  1. «5»
  2. «4»
  3. «3»
Решение

Чтобы мальчику получить «5», он должен прыгнуть 58 раз, а он прыгнул 57. Мальчик получит «4».

Ответ:

2


  1. На координатной прямой точки A, B, C и D соответствуют числам 0,0137; 0,103; 0,03; 0,021.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-11-variant-01

Какой точке соответсвует число 0,03?

  1. A
  2. B
  3. C
  4. D
Решение

Расставим данные числа в порядке возрастания:

0,0137 (A); 0,021 (B); 0,03 (C) 0,103 (D)

Число 0,03 соответсвует точке С

Ответ:

3


  1. Найдите значение выражения

    \[ (\sqrt{33} + 2\sqrt{3})^2 - 4\sqrt{99} \]

Решение

    \[ (\sqrt{33} + 2\sqrt{3})^2 - 4\sqrt{99} = (\sqrt{33})^2 + (2 * 2 * \sqrt{33} \sqrt{3} ) + (2\sqrt{3})^2 - 4\sqrt{99} = \]

    \[ = 33 + 4 \sqrt{33 * 3} + 4 * 3 - 4\sqrt{99} = 33 + 4 \sqrt{99} + 12 - 4\sqrt{99} = 45 \]

Ответ:

45


  1. На графике изображена зависимость атмосферного давления от высоты над уровнем моря. На горизонтальной оси отмечена высота над уровнем моря в километрах, на вертикальной — атмосферное давление в миллиметрах ртутного столба. Определите по графику, на какой высоте атмосферное давление равно 580 миллиметрам ртутного столба. Ответ дайте в километрах.

Решение

На вертикальной оси найдем отметку, равна 580 миллиметрам ртутного столба. Проведём горизонтальную прямую до пересечения ее с графиком зависимости.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-11-variant-02

Отпустив от точки пересечения прямую до горизонтальной оси определяем высоту — 2 км

Ответ:

2


  1. Найдите корень уравнения

    \[ (x + 3)^2 = (x + 8)^2 \]

Решение

    \[ (x + 3)^2 = (x + 8)^2 \]

    \[ x^2 + 6x + 9 = x^2 + 16x + 64 \]

    \[ x^2 - x^2 + 6x - 16x = 64 - 9 \]

    \[ -10x = 55 \]

    \[ x = 55 : (-10) = -5,5 \]

Корень уравненя : -5,5

Ответ:

-5,5


  1. Стоимость проезда в электричке составляет 131 рубль. Школьникам предоставляется скидка 50%. Сколько рублей будет стоить проезд для 3 взрослых и 5 школьников?
Решение

131 руб — 100%

Найдём стоимость проезда для школьника

131 : 2 = 65,5

Найдём стоимость проезда для 3 взрослых и 5 школьников

131 * 3 + 65,5 * 5 = 393 + 327,5 = 720,5

Ответ:

720,5


  1. На диаграмме показано содержание питательных веществ в какао, молочном шоколаде, творожных сырках и сгущенном молоке. Определите по диаграмме, в каком продукте содержание жиров наибольшее.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-11-variant-03

  1. какао
  2. шоколад
  3. сырки
  4. сгущенном молоке
Решение

На диаграмме хорошо видно, что наибольший сектор жиров у шоколада.

Ответ:

2


  1. Правильную игральную кость бросают дважды. Известно, что сумма выпавших очков больше 8. Найдите вероятность события «при первом броске выпало 3 очка».
Решение

В правильной игральной кости шесть граней с нанесенными цифрами от 1 до 6.

Сумму более 8 очков дают два броска в следующих комбинациях (первая цифра — первый бросок, вторая цифра — второй бросок):

3:6, 4:5, 4:6, 5:4, 5:5, 5:6, 6:3, 6:4, 6:5, 6:6

Всего возможных исходов 10.

Из них, удовлетворяющих условию задачи исходов — «при первом броске выпало 3 очка» — 1 исход.

Чтобы найти вероятность такого события воспользуемся классической формулой определения вероятностей:

    \[ P_{(A)} = \frac{m}{n} \]

где

m — число благоприятствующих событию A исходов,
n — число всех элементарных равновозможных исходов в испытании.

Получаем:

    \[ P_{(A)} = \frac{1}{10} = 0,1 \]

Вероятность события «при первом броске выпало 3 очка» равна 0,1.

Ответ:

0,1


  1. На рисунках изображены графики функций вида y = ax2 + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

Формулы:

  1. a < 0, c > 0
  2. a > 0, c > 0
  3. a > 0, c < 0

Графики:

OGE-mat-9-klass-2019-14var-11-variant-04

В таблице под каждой буквой укажите соответсвующий номер.

Решение

Функции представлена квадратным уравнением, поэтому ее графиком являются парабола.

Известно, что:

  • если коэффициент а>0, то ветви параболы направлены вверх, если a<0, то ветви параболы направлены вниз.
  • если коэффициент с>0, то парабола пересекает ось у выше нуля, если с<0, парабола пересекает ось у ниже нуля.
  1. На графике А ветви направлены вверх, значит а > 0, парабола пересекает ось у ниже нуля, значит с < 0. Графику А соответсвует функция 3
  2. На графике Б ветви направлены вниз, значит а < 0, парабола пересекает ось у выше нуля, значит с > 0. Графику Б соответсвует функция 1
  3. На графике В ветви направлены вверх, значит а > 0, парабола пересекает ось у выше нуля, значит с > 0. Графику В соответсвует функция 2

Ответ:

А — 3 ; Б — 1 ; В — 2


  1. Арифметическая прогрессия (an) задана условиями:

    \[ a_1 = -5,  a_{n+1} = a_n + 12  \]

Найдите сумму первых 9 её членов

Решение

Сумма n пер­вых чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии опеределяется по формуле

    \[ S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} n \]

Найдем второй член a2 данной последовательности

    \[ a_{n+1} = a_n + 12  \]

    \[ a_2 = a_1 + 12  = -5 + 12 = 7\]

Найдем шаг или разность прогрессии d:

    \[ d = a_{n+1} - a_n = a_2 - a_1 = 7 - (-5) = 12 \]

Подставим имеющиеся значения в формулу

    \[ S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} n \]

    \[ S_9 = \frac{2a_1 + (9-1)d}{2} n = \frac{2 * (-5)  + 8 * 12}{2} * 9 = \frac{-10  + 96}{2} * 9 = \]

    \[ = \frac{86}{2} * 9 = 43 * 9 = 387\]

Сумма пер­вых чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии равна 387

Ответ:

287


  1. Найдите значение выражения

    \[ \frac{a^2 - 16}{2a^2 + 8a} \]

при

    \[ a = -0,2 \]

Решение

Выполним преобразование дроби:

    \[ \frac{a^2 - 16}{2a^2 + 8a} = \frac{(a + 4)(a - 4)}{2a * (a + 4)} = \frac{a - 4}{2a} \]

подставим значения  a в полученную формулу

    \[ \frac{a - 4}{2a} = \frac{(-0,2) - 4}{2 * (-0,2)} = \frac{-4,2}{-0,4} = 10,5 \]

Ответ:

10,5


  1. Перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта позволяет формула tF = 1,8tc + 32, где tc — температура в градусах Цельсия, tF — температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует -40 градусов по шкале Фаренгейта?
Решение

Исходная формула

    \[ t_F = 1,8t_c +  32 \]

По условию задачи известно:

tF = -40

Подставим значения в формулу:

Подставим значения в формулу:

    \[ t_c = \frac{t_F -  32}{1,8} = \frac{-40 -  32}{1,8} = \frac{-72}{1,8} = -40 \]

Ответ:

-40


  1. Укажите решение системы неравенств

    \[ y = \left\{\begin{matrix} x + 4 \ge -4,5 ,\\ x + 4 \le 0 \end{matrix}\right.  \]

OGE-mat-9-klass-2019-14var-11-variant-05

Решение

Решим первое уравнение

x + 4 ≥ -4,5

x ≥ -4,5 — 4

x ≥ -8,5

Решим второе уравнение

x + 4 ≤ 0

x ≤ -4

Решению данной системы удовлетворяет множество x в промежутке [-8,5 ; -4]

Ответ 1

Ответ:

1


Модуль «Геометрия»


  1. Проектор полностью освещает экран  A высотой 240 см, расположенный на расстоянии 300 см от проектора. На каком расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран высотой 80 см, чтобы он был полностью освещен, если настройки проектора остаются неизменными?

OGE-mat-9-klass-2019-14var-11-variant-06

Решение

Внесём обозначения в график

OGE-mat-9-klass-2019-14var-11-variant-07

Треугольники ∆ANM и ∆ABC являются подобными по трём углам.

Тогда справедливым будет отношение:

    \[ \frac{a}{b} = \frac{c+x}{c} \]

BC = a = 240
NM = b = 80
c+x = 300

    \[ c = b\frac{c + x}{a} = 80\frac{240}{300} = 100 \]

Второй экран нужно расположить на расстоянии в 100 см от проектора.

Ответ:

100


  1. Два катета прямоугольного треугольника равны 17 и 4. Найдите его площадь
Решение
OGE-mat-9-klass-2019-14var-11-variant-08

Площадь треугольника равна произведению половины основания треугольника (a) на его высоту (h)

    \[ S_{ABC} = \frac{b}{2} h \]

В прямоугольном треугольнике каждый из катетов может выступать высотой. Пусть сторона BC (a), будет высотой (h), а сторона AC (b) будет основанием. Тогда получим

    \[ S_{ABC} = \frac{4}{2} 17 = 34 \]

Площадь треугольника равна 34

Ответ:

34


  1. Касательная в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 88°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-11-variant-09

Решение

Введём обозначения для удобства.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-11-variant-10

Рассмотрим треугольник ∆ACB

Касательные, проведённые к окружности из одной точки, равны между собой, следовательно AC = BC.

Значит треугольник ∆ACB равнобедренный. Следовательно его углы при основании AB равны.

Известно, что сумма углов равнобедренного треугольника составляет 180°, тогда

∠BAC + ∠ABC = 180° — ∠ACB = 180° — 88° = 92°

Так как углы при основании равны, то

∠BAC = ∠ABC = 92° : 2 = 46°

Касательная, проведённая к окружности составляет с радиусом окружности в точке касания прямой угол, следовательно

∠OBC = 90°
∠OAC = 90°

Отсюда получаем величину угла ∠ABO

∠ABO = ∠OBC — ∠ABC = 90° — 46° = 44°

Ответ:

44°


  1. В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании (см.рис.). Найдите большее основание.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-11-variant-11

Решение

Внесём некоторые обозначения в чертёж

OGE-mat-9-klass-2019-14var-11-variant-12

Рассмотрим треугольник ∆ABH

Это прямоугольный треугольник у которого известны два угла:

∠BAH = 45°
∠AHB = 90°

Известно, что сумма углов треугольника равна 180°, в таком случае найдём третий угол ∠ABH

∠ABH = 180° — ∠BAH — ∠AHB = 180° — 45° — 90° = 45°

Итак, два угла ∠ABH и ∠BAH при основании AB равны, значит перед нами равнобедренный треугольник.

Известно, что в равнобедренном треугольнике стороны при основании равны, значит

BH = AH = 5

По условию задачи, трапеция ABCD равнобедренная.

Определение: высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой – полуразности оснований.

    \[ AH = \frac{AD - BC}{2} \]

Найдём отсюда AD

    \[ AD = 2 * AH + BC = 2 * 5 + 7 = 17 \]

Большее основание равно 17

Ответ:

17


  1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 отмечены точки A, B и C. Найдите расстояние от точки A до прямой BC.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-11-variant-13

Решение

OGE-mat-9-klass-2019-14var-11-variant-14

Расстояние от точки  до прямой BC составляет 2 клетки

Ответ:

2


  1. Какие из следующих утверждений верны?
  1. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой.
  2. В любой прямоугольник можно вписать окружность.
  3. Любая биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой.

В ответ запишите номера выбранных утверждений.

Решение

Данное задание не является задачей. Вопросы, перечисленные здесь необходимо знать наизусть и уметь на них отвечать.

  1. Верно — Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой — причём только одну.
  2. Неверно
  3. Неверно — это свойство равностороннего треугольника

Ответ:

1


Часть 2

Модуль «Алгебра»


  1. Найдите значение выражения 39a — 15b + 25, если

    \[ \frac{3a - 6b + 4}{6a - 3b + 4} = 7 \]

Решение

Упростим дробь

    \[ \frac{3a - 6b + 4}{6a - 3b + 4} = 7 \]

    \[ 3a - 6b + 4 = 7 * (6a - 3b + 4) \]

    \[ 3a - 6b + 4 = 42a - 2b + 28 \]

    \[ 3a - 6b - 42a + 21b = 28 - 4 \]

    \[ 15b - 39a = 24 \]

Найдём из этого выражения b

    \[ b = \frac{24 + 39a}{15} \]

Подставим полученное значение в первую формулу:

    \[ 39a - 15b + 25 \]

    \[ 39a - 15\frac{24 + 39a}{15} + 25 = 39a - 24 + 39a + 25 = 1 \]

Ответ:

1


  1. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 224 км. Отдохнув, он отправился обратно в А, увеличив скорость на 2 км/ч. По пути он сделал остановку на 2 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В.
Решение

Пусть x — скорость велосипедиста из города А в город В

Тогда потраченное им время на первую поездку до города В равно — 224/x

(x + 2) — скорость велосипедиста на обратном пути.

Тогда затраченное им время на обратный путь равно — 224/(x + 2)

Справедливым будет следующее равенство:

    \[ \frac{224}{x} = \frac{224}{x + 2}  + 2 \]

или

    \[ \frac{224}{x} - \frac{224}{x + 2}  = 2 \]

Т.е. мы от времени, затраченного при поездке в одну сторону отняли время, затраченное при поездки в обратную сторону в остатке получили 2 часа, потраченные велосипедистом на отдых.

Решим полученное уравнение

    \[ \frac{224}{x}*(x(x + 2)) - \frac{224}{x + 2}*(x(x + 2))  = 2*(x(x + 2)) \]

    \[ 224(x + 2) - 224x = 2x(x + 2) \]

    \[ 224x + 448 - 224x = 2x^2 + 4x \]

    \[ 448= 2x^2 + 4x \]

    \[ 2x^2 + 4x - 448 = 0 \]

    \[ x^2 + 2x - 224 = 0 \]

Решим, полученное квадратное уравнение

    \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 ∙ 1 ∙ (-224) = 4 + 896 = 900 \]

    \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{900}}{2} =  \frac{-2 + 30}{2} = 14 \]

    \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{900}}{2} =  \frac{-2 - 30}{2} = -16 \]

Скорость велосипедиста из города А в город В равна 14 км/ч

Ответ:

14


  1. Постройте график функции

    \[ y = \frac{1}2{} (| \frac{x}{3} - \frac{3}{x}| + \frac{x}{3} + \frac{3}{x}) \]

и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение

    \[ y = \frac{1}2{} (| \frac{x}{3} - \frac{3}{x}| + \frac{x}{3} + \frac{3}{x}) \]

Заданная функция имеет модуль, поэтому разложим данную функцию на две подфункции, в зависимости от значения модуля:

    \[ y = \frac{1}2{} ( \frac{x}{3} - \frac{3}{x} + \frac{x}{3} + \frac{3}{x}) = \frac{x}{3} \]

    \[ y = \frac{1}2{} ( \frac{-x}{3} - \frac{3}{-x} + \frac{x}{3} + \frac{3}{x}) = \frac{3}{x} \]

Построим графики всех функций

OGE-mat-9-klass-2019-14var-11-variant-17

 

Итак, мы получили две функции:

  • y = x/3
  • y = 3/x

Функция y = x/3 является прямой, изображённой на графике зелёным цветом.

Функция y = 3/ч является гиперболой, изображённой на графике синим цветом.

На графике видно, одну точку пересечения прямая y=m будет иметь с графиком только в точке пересечения этих двух функций.

Найдём точку пересечения двух графиков — для этого приравняем обе функции.

x/3 = 3/x

x2 = 9

x = 3

Так как любое число (положительное и отрицательное) в квадрате даст положительное число, то x может быть представлен как положительным, так и отрицательным числом:

x1 = 3

x2 = -3

Найдем значение y для обоих x:

y1 = x/3 = 3/3 = 1

y2 = x/3 = (-3)/3 = -1

y=m имеет с графиком ровно одну общую точку в точках: -1; 1

Ответ:

-1; 1


  1. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 14, AC = 21, NC = 10.
Решение

Выполним чертёж, согласно заданного условия:

OGE-mat-9-klass-2019-14var-11-variant-16

В результате проведения прямой MN, мы получили два треугольника ∆ABC и ∆MBN.

Рассмотрим данные треугольники.

  • оба треугольника имеют общий угол ∠B, следовательно углы ∠ABC и ∠MBN равны.
  • углы ∠BAC и ∠BMN равны, поскольку являются накрест лежащими углами, образованными двумя параллельными прямыми MN и AC и секущей AB.
  • углы ∠BCA и ∠BNM равны, поскольку являются накрест лежащими углами, образованными двумя параллельными прямыми MN и AC и секущей BC.

Следовательно треугольники ∆ABC и ∆MBN подобны, и отношение их сторон должно быть пропорционально:

    \[ \frac{AC}{MN} = \frac{BC}{BN} \]

    \[ BN * AC = BC * MN \]

Представим сторону BC, как сумму двух сторон: BN + NC

    \[ BN * AC = (BN + NC) * MN \]

    \[ BN * AC = BN * MN + NC * MN \]

Найдём из этого выражения BN

    \[ BN * AC - BN * MN = NC * MN \]

    \[ BN * (AC - MN) = NC * MN \]

    \[ BN = \frac{NC * MN}{AC - MN} \]

Подставим имеющиеся значения сторон в полученную формулу

    \[ BN = \frac{NC * MN}{AC - MN} = \frac{10 * 14}{21 - 14} = \frac{140}{7} = 20 \]

Длина BN равна 20

Ответ:

20


  1. Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD = 10. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Решение

Выполним чертёж, согласно условия:

OGE-mat-9-klass-2019-14var-11-variant-15

Дано:

BC = 5
AD = 20
BD = 10

Рассмотрим треугольники ∆CBD и ∆BDA

Углы ∠CBD и ∠BDA равны, поскольку являются накрест лежащими углами, образованными двумя параллельными прямыми BC и AD и секущей BD. Гипотенуза BD у этих треугольников общая.

Если эти треугольники подобны, тогда отношение их сторон должно быть пропорционально:

    \[ \frac{BC}{BD} = \frac{BD}{AD} \]

Подставим имеющиеся значения длин сторон

    \[ \frac{5}{10} = \frac{10}{20} \]

    \[ \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \]

Следовательно, треугольники ∆CBD и ∆BDA подобны по второму признаку подобия треугольников: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Утверждение доказано.


  1. Окружности радиусов 36 и 45 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
Решение

Выполним чертёж согласно условия:

OGE-mat-9-klass-2019-14var-9-variant-13

Дано:

OA = R1 = 36 — радиус первого круга
FC = R2 = 45 — радиус второго круга

Линия, соединяющая центры окружностей проходит через точку их касания и равна сумме радиусов этих окружностей:

OF = R1 + R2 = 36 + 45 = 81

Проведём из точки O перпендикуляр OM к отрезку CF. Точку их пересечения обозначим через М.

Прямая OM параллельна и равна прямой AC.

OM || AC
OM = AC

Рассмотрим треугольник ∆OMF. Это прямоугольный треугольник, гипотенуза которого OF = 135

Его катет FM равен

FM = CF — CM

так как пряма  OM параллельна AC, то в таком случае AO = CM = 36

Следовательно FM будет равна

FM = CF — CM = 45 — 36 = 9

Зная длину катета и гипотенузы прямоугольного треугольника ∆OMF, найдем длину его второго катета OM через теорему Пифагора

OF2 = OM2 + FM2

OM2 = OF2 — FM2

OM2 = 812 — 92 = 6561 — 81 = 6480

OM = √6480

Проведём из точки B перпендикуляр BN к прямой CD. Точку их пересечения обозначим через N.

Полученный треугольник ∆BND является подобным треугольнику ∆OMF по двум углам:

  • оба треугольника прямоугольные, а значит их углы ∠BND и ∠OMF равны
  • углы ∠DBN и ∠FOM также равны, поскольку образованны прямыми: одна из которых параллельна прямой соединяющей центры окружностей, а другая параллельна одной из касательных, проведённых к этим окружностям.

Учитывая подобие этих треугольников, справедливым будет следующее соотношение:

    \[ \frac{BN}{BD} = \frac{OM}{OF} \]

BD = AC = OM = √6480

Найдем из этой формулы BN

    \[ BN = \frac{OM * BD}{OF} = \frac{\sqrt{6480} * \sqrt{6480}}{81} = \frac{6480}{81} = 80 \]

Расстояние между прямыми AB и CD равно 80

Ответ:

80