Меню Закрыть

ОГЭ по математике 2019. ТТЗ Ященко. 38 вариантов. Вариант 8

ОГЭ по математике 9 класс 2019 года под редакцией И. В. Ященко (38 вариантов) — Вариант 8

При написании данной работы «ОГЭ по математике 2019. ТТЗ Ященко. 38 вариантов. Вариант 8» было использовано пособие «ОГЭ 2019. Математика. 38 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ОГЭ  И. Р. Высоцкий, Л. О. Рослова, Л. В. Кузнецова, В. А. Смирнов, А. В. Хачатурян, С. А. Шестаков, Р. К. Гордин, А. С. Трепалин, А. В. Семенов, П. И. Захаров; под редакцией И. В. Ященко. — М.: Издательство «Экзамен», МЦНМО, 2019″.

Часть 1

Модуль «Алгебра»


  1. Найдите значение выражения

        \[\frac{0,3 * 0,4}{0,6}\]

Решение

    \[ \frac{0,3 * 0,4}{0,6} = \frac{0,12}{0,6} = 0,2 \]

Ответ:

0,2


  1. Расстояние от Нептуна до Солнца равно 4503,4 млн км. В каком случае записана эта же величина?
  1. 4, 5034 * 106 км
  2. 4, 5034 * 107 км
  3. 4, 5034 * 108 км
  4. 4, 5034 * 109 км
Решение

Дано расстояние 4503,4 млн км.

млн км. = 1 000 000 = 106 км

Преобразуем величину 4503,4 перенеся запятую так, чтобы она стояла после первого знака

4503,4 = 4,5034 * 103

Запишем всю запись целиком

4503,4 млн км. = 4,5034 * 103 * 106 км = 4,5034 * 10км

Ответ:

номер 4.


  1. На координатной прямой отмечены числа x и y.

OGE-mat-9-klass-2019-38var-1-variant-01

Какое из приведённых утверждений для этих чисел неверно?

  1. x + y < 0
  2. xy2 > 0
  3. x — y > 0
  4. x2y < 0
Решение

Из графика видно, что y — это отрицательное число, а x — положительное. Причем, x находится значительно дальше от нуля, чем y.

1) так как x находится гораздо дальше от нуля, чем y, то результатом их суммы будет положительное число.

утверждение x + y < 0 неверное

2) квадрат отрицательного числа всегда даёт положительное число.

утверждение xy2 > 0  верное

3) вычитая отрицательное число из положительнго получится положительное число.

утверждение x — y > 0  верное

4) произведение квадрата положительного числа на отрицательное даст в результате отрицательное число

утверждение x2y < 0  верное

Ответ:

1


  1. Найдите значение выражения

    \[ \frac{4^{-2} * 4^{-7}}{4^{-11}} \]

Решение

Определение: степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.

Получаем:

    \[ \frac{4^{-2} * 4^{-7}}{4^{-11}} = \frac{4^{-2 + (-7)}}{4^{-11}} =  \frac{4^{-9}}{4^{-11}} \]

Определение: степени с одинаковыми основами могут быть разделены путём вычитания показателей степеней.

    \[ \frac{4^{-9}}{4^{-11}} = 4^{-9-(-11)} = 4^{-9+11} = 4^2 = 16 \]

Ответ:

16


  1. При работе фонарика батарейка постепенно разряжается, и напряжение в электрической цепи фонарика падает. На рисунке показана зависимость напряжения в цепи от времени работы фонарика. На горизонтальной оси отмечается время работы фонарика в часах, на вертикальной оси — напряжение в вольтах. Определите по рисунку, на сколько вольт упадёт напряжение за первые 2 часа работы фонарика.

OGE-mat-9-klass-2019-38var-1-variant-02

Решение

Определим из графика, какое напряжение будет в сети фонарика через 2 часа.

OGE-mat-9-klass-2019-38var-1-variant-03

Напряжение будет составлять 1,2 вольта

Первоначальное напряжение в сети было 1,6 вольт

Следовательно

1,6 — 1,2 = 0,4

За первые 2 часа работы фонарика напряжение упадёт на 0,4 вольт

Ответ:

0,4


  1. Решите уравнение

    \[ \frac{1}{2}x^2 - 32 = 0 \]

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Решение

Для решения неполного квадратного уравнения, в котором b=0; c≠0, воспользуемся формулой:

    \[ ax^{2}=-c \]

    \[ x^{2}=-{\frac {c}{a}} \]

    \[ x_{1,2}=\pm {\sqrt {-{\frac {c}{a}}}} \]

Имеем

    \[ \frac{1}{2}x^2 - 32 = 0 \]

Здесь

    \[ a =\frac {1}{2}; c=-32 \]

Найдём корни уравнения

    \[ x_1= {\sqrt {-{\frac {-32}{\frac {1}{2}}}}} = {\sqrt {-{\frac {-32*2}{1}}} } = {\sqrt {64} = 8 \]

    \[ x_2= -{\sqrt {-{\frac {-32}{\frac {1}{2}}}}} = -{\sqrt {-{\frac {-32*2}{1}}} } = -{\sqrt {64} = -8 \]

Ответ:

Наименьший корень данного уравнения: -8


  1. Принтер печатает одну страницу за 12 секунд. Сколько страниц можно напечатать за 8 минут?
Решение

Переведём минуты в секунды

8 мин = 8 * 60 = 480 с

480 : 12 = 40 (стр) — можно напечатать страниц за 8 минут

Ответ:

40


  1. На диаграмме показано содержание питательных веществ в сливочных сухарях. Определите по диаграмме, содержание каких веществ превосходит 50%.

OGE-mat-9-klass-2019-38var-8-variant-03

*к прочему относятся вода, витамины и минеральные вещества

  1. жиры
  2. белки
  3. углеводы
  4. прочее
Решение

Если круг — это 100%, то 50% — это половина круга.

На диаграмме хорошо видно, что более половины круга занимает содержание углеводов

Ответ:

3


  1. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,14. Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.
Решение

Существует два вероятных события

  • ручка пишет хорошо
  • ручка пишет плохо или на пишет (0,14)

Известно, что сумма всех вероятных событий равна единице. Следовательно

1 — 0,14 = 0,86

Вероятность того, что эта ручка пишет хорошо составляет 0,86

Ответ:

0,86


  1. На рисунке изображены графики функций вида y = ax2 + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Функции:

А) a > 0, c < 0

Б) a < 0, c > 0

В) a > 0, c > 0

Графики:

OGE-mat-9-klass-2019-38var-8-variant-04

В таблице под каждой буквой укажите соответсвующий номер.

Решение

Графиком квадратного уравнения является парабола.

Если коэффициент «а» положительный, то ветви параболы направлены вверх, а если отрицательный — вниз.

Коэффициент «с»  — это точка пересечения параболы с осью y.

А) a > 0, c < 0

a > 0 — ветви параболы направлены вверх

c < 0 — точка пересечения параболы с осью y отрицательная (находится ниже оси х)

Соответсвует графику 3

Б) a < 0, c > 0

a < 0 — ветви параболы направлены вниз

c > 0 — точка пересечения параболы с осью y положительная (находится выше оси х)

Соответсвует графику 1

В) a > 0, c > 0

a > 0 — ветви параболы направлены вверх

c > 0 — точка пересечения параболы с осью y положительная (находится выше оси х)

Соответсвует графику 2

Ответ:

А — 3 ; Б — 1 ; В — 2


  1. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии: …; 17; x; 13; 11; …

Найдите x

Решение

Найдём разность арифметической прогрессии по двум последовательным значениям прогрессии:

d = 11 — 13 = -2

Отсюда

17 + (-2) = 15

Ответ:

15


  1. Найдите значение выражения

    \[ \frac{1}{x} - \frac{x + 5y}{5xy} \]

при

    \[  x = \sqrt{28}, y = \frac{1}{8}  \]

Решение

Упростим выражение

    \[ \frac{1}{x} - \frac{x + 5y}{5xy} = \frac{1 * 5y}{x * 5y} - \frac{x + 5y}{5xy} = \frac{5y - x - 5y}{5xy} = \frac{-x}{5xy} = \frac{-1}{5y} \]

Для решения данного выражения, подставим значение y

    \[ \frac{-1}{5y} = \frac{-1}{5 * \frac{1}{8}} = \frac{-1}{\frac{5}{8}} = \frac{-8}{5} = -1,6 \]

Ответ:

-1,6


  1. Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле

    \[ S = \frac{d_1 d_2 * sin a}{2} \]

где d1 и d2 — длины диагоналей четырёхугольника, a — угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d2, если d1 = 4, sin a = 5/7, S = 10.

Решение

Исходная формула

    \[ S = \frac{d_1 d_2 * sin a}{2} \]

Отсюда d2 будет равно

    \[ d_2 = \frac{S * 2}{d_1 * sin a} \]

По условию задачи известно:

d1 = 4
sin a = 5/7
S = 10

Подставим значения в формулу:

    \[ d_2 = \frac{S * 2}{d_1 * sin a} = \frac{10 * 2}{4 * \frac{5}{7}} = \frac{20}{\frac{20}{7}} = \frac{20 * 7}{20} = 7 \]

Длина диагонали d2 = 7

Ответ:

7


  1. Укажите решение неравенства 9x -4 (x — 7) ≥ -3
  1. [5; +∞)
  2. (-∞; -6,2]
  3. [-6,2; +∞)
  4. (-∞; 5]
Решение

Решим неравенство.

9x -4 (x — 7) ≥ -3

9x -4x + 28 ≥ -3

5x ≥ -3 — 28

5x ≥ -31

x ≥ -31/5

x ≥ -6,2

Данному решению удовлетворяет ответ под номером 3 — [-6,2; +∞)

Ответ:

3


Модуль «Геометрия»


  1. Наклонная крыша установлена на трёх вертикальных опорах, основания которых расположены на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см. рис.). Высота средней опоры 2,2 м, высота большей опоры 2,5 м. Найдите высоту меньшей опоры. Ответ дайте в метрах.

OGE-mat-9-klass-2019-38var-8-variant-05

Решение

Так как опоры стоят на одинаковом расстоянии друг от друга, то высота их увеличивается с определённым шагом — пропорционально. Найдём величину этого шага:

2,5 — 2,2 = 0,3 (м) — перепад высот между средней и большей колонами

2,2 — 0,3 = 1,9 (м) — высота меньшей колоны

Ответ:

1,9


  1. Катеты прямоугольного треугольника равны 30 и 40. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Решение

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов.

c2 = a2 + b2

c2 = 302 + 402

c2 = 900 + 1600

c2 = 2500

c =√2500 = 50

Гипотенуза данного треугольника равна 50

Ответ:

50


  1. Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Найдите угол ACB, если угол AOB равен 167°.

OGE-mat-9-klass-2019-38var-8-variant-06

Решение

Определение: Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным. Величина вписанного угла равна половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Угол AOB является центральным углом.

Угол ACB является вписанным углом.

Оба угла опираются на одну дугу AB.

Следовательно:

167 : 2 = 83,5° — величина угла AOB

Ответ:

83,5°


  1. Найдите величину острого угла параллелограмма ABCD, если биссектриса угла А образует со стороной BC угол, равный 44°. Ответ дайте в градусах.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-8-variant-09

Решение

Обозначим точку пересечения биссектрисы со стороной BC через N

OGE-mat-9-klass-2019-14var-8-variant-10

Углы ∠BNA и ∠NAD равны, как углы при параллельных прямых (BC и AD) и секущей (AN)

∠BNA = ∠NAD = 44°

Определение: Биссектриса делит угол пополам.

Отсюда

∠ABD = ∠BAN + ∠NAD = NAD * 2 = 44° * 2 = 88°

Величина острого угла параллелограмма ABCD равна 88°

Ответ:

88°


  1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображен параллелограмм. Найдите его площадь.

OGE-mat-9-klass-2019-38var-8-variant-07

Решение

Площадь параллелограмма равна произведению длины его основания на высоту

Основание = 4 клетки

Высота = 1 клетка

S = 4 * 1 = 4

Площадь параллелограмма равна 4

Ответ:

4


  1. Какое из следующих утверждений верно?
  1. Две прямые, параллельные третьей, перпендикулярны друг другу.
  2. Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.
  3. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Данное задание не является задачей. Вопросы, перечисленные здесь необходимо знать наизусть и уметь на них отвечать.

  1. Неверно — Две прямые, параллельные третьей, параллельны друг другу
  2. Неверно — Треугольник со сторонами 1, 2, 4 НЕ существует, поскольку даже в развернутом виде стороны с длиной 1 и 2 дают в сумме 3.
  3. Верно — Сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусам. В прямоугольном треугольнике один угол 90 градусов. 180 — 90 = 90 — сумма острых углов.

Ответ:

3


Часть 2

Модуль «Алгебра»


  1. Сократите дробь

    \[ \frac{36^n}{3^{2n-1} * 4^{n-2}} \]

Решение

Определение: При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, основание остается неизменным.

Определение: При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели отнимаются, а основание остается неизменным.

Выполним преобразование дроби

    \[ \frac{36^n}{3^{2n-1} * 4^{n-2}} = \frac{36^n}{3^n * 3^{n-1} * 4^n * 4^{-2}} = \frac{36^n}{(3*4)^n * 3^{n-1} * 4^{-2}} = \]

    \[ = \frac{36^n}{12^n * 3^{n-1} * \frac{1}{4^2}} = \frac{36^n}{12^n} * \frac{1}{3^{n-1} * \frac{1}{16}} = (36 : 12)^n * \frac{1}{3^{n-1} * \frac{1}{16}} = \]

    \[ = \frac{3^n}{3^{n-1} * \frac{1}{16}}  = \frac{3^{n-(n-1)}}{\frac{1}{16}} = \frac{3^{n-n+1}}{\frac{1}{16}} =  \frac{3^1}{\frac{1}{16}} = \frac{3}{\frac{1}{16}} = \frac{3 * 16}{1} = 48 \]

Ответ:

10


  1. Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 34 км/ч, а вторую — со скоростью 51 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
Решение

Определение: Средняя скорость равна отношению расстояния к затраченному времени на преодоление данного расстояния.

    \[ v = \frac{S}{t} \]

По условию задачи дано

v1 = 34 км/ч
v2 = 51 км/ч
S — длина всего пути в км

Половина пути равна = S/2

Время потраченное на первую половину пути:

    \[ t_1 = \frac{\frac{S}{2}}{v_1} = \frac{\frac{S}{2}}{34} = \frac{S}{2 * 34} = \frac{S}{68} \]

Время потраченное на вторую половину пути:

    \[ t_2 = \frac{\frac{S}{2}}{v_2} = \frac{\frac{S}{2}}{51} = \frac{S}{2 * 51} = \frac{S}{102} \]

Средняя скорость автомобиля будет равна:

    \[ v = \frac{S}{t} = \frac{S}{t_1 + t_2} = \frac{S}{\frac{S}{68} + \frac{S}{102}} = \frac{S}{S * (\frac{1}{68} + \frac{1}{102})} = \]

    \[ = \frac{1}{\frac{1}{68} + \frac{1}{102}} = \frac{1}{\frac{51}{3468} + \frac{34}{3468}} = \frac{1}{\frac{85}{3468}} = \]

    \[ = \frac{3468}{85} = 40,8 \]

Средняя скорость автомобиля будет равна 40,8 км/ч

Ответ:

40,8 км/ч


  1. Постройте график функции

    \[ y = x^2 - | 8x + 1| \]

и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение

y = x2 — | 8x + 1|

Заданная функция имеет модуль, поэтому разложим данную функцию на две подфункции, в зависимости от значения модуля:

  • y = x2 — 8x — 1
  • y = x2 + 8x + 1

Построим графики всех функций

OGE-mat-9-klass-2019-38var-8-variant-08

На графике видно, что обе функции являются параболами, ветви которых направлены вверх (поскольку коэффициент «а» больше нуля).

Первая функция представлена на графике зелёным цветом, а вторая функция — синим.

График функции y = x2 — | 8x + 1| отображён красным пунктиром.

На графике хорошо видно, что между вершинами обеих парабол функция y=m будет иметь от одного до двух пересечений.

Выше вершины параболы, представленной функцией y = x2 + 8x + 1, прямая y=m будет иметь три точки пересечения до точки пересечения двух графиков.

1) Найдём точку пересечения двух графиков — для этого приравняем обе функции.

x2 + 8x + 1 = x2 — 8x — 1

x2 — x2 + 8x + 8x = — 1 — 1

16x = — 2

x = -2/16 = -1/8

y = x2 + 8x + 1 = (-1/8)2 + 8 * (-1/8) + 1 = 1/64 — 1 + 1 = 1/64

2) найдем вершину параболы, представленной функцией y = x2 + 8x + 1

x0 = -b/2a = -8/2 = -4

y0 = x2 + 8x + 1 = (-4)2 + 8 (-4) +1 = 16 — 32 +1 = -15

y=m имеет с графиком ровно три общие точки: -15; 1/64

Ответ:

-15; 1/64


  1. Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соотвественно. Найдите BH, если PK = 15.
Решение

Выполним чертёж, согласно заданного условия:

OGE-mat-9-klass-2019-14var-9-variant-15

Дано:

PK = 15
∠ABC = 90º (по условию)
∠CHB = 90º (по условию)

Определение: Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а обе стороны пересекают эту окружность.

Определение: Угол, опирающийся на диаметр окружности является прямым.

Определение: Величина вписанного угла равна половине дуги, на которую он опирается.

Отталкиваясь от последнего определения имеем:

  • величина вписанного угла ∠PBK = 90º (по условию)
  • дуга на которую он опирается — PHK

PHK = ∠PBK * 2 = 90 * 2 = 180º

Хорда PK делит круг на две равные дуги по  180º, следовательно PK — это диаметр окружности.

Определение: Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

CA — это касательная пройденная к окружности, а HB — перпендикуляр к касательной CA (по условию).

Следовательно HB — это диаметр окружности.

PK = HB = 15

Ответ:

15


  1. Биссектрисы углов C и D трапеции ABCD пересекаются в точке  P, лежащей на стороне AB. Докажите, что точка P равноудалена от прямых BC, CD и AD.
Решение

Выполним чертёж, согласно заданного условия и введём обозначения:

OGE-mat-9-klass-2019-38var-8-variant-09

Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую.

Следовательно, чтобы доказать, что точка P равноудалена от прямых BC, CD и AD, требуется доказать равенство перпендикуляров, проведённых из точки P к прямым, содержащим стороны трапеции BC, CD и AD.

BC ⊥ PL
CD ⊥ PK
AD ⊥ PH

1) Рассмотрим треугольники ∆PHD и ∆PKD.

∠PHD=90º, ∠PKD=90º (по условию задачи).

Так как угол ∠D разделён биссектрисой (по условию), то углы ∠HDP и ∠KDP равны.

Гипотенуза PD у обоих треугольников общая.

Следовательно прямоугольные треугольники ∆PHD и ∆PKD равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: PH = PK.

2) Аналогичное заключаем из равенства треугольников ∆PKC и ∆PLC, т.е. стороны PL = PK.

Отсюда получаем, что

PH = PL = PK

Утверждение доказано.


  1. В треугольнике ABC известны длины сторон AB = 12, AC = 72, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.
Решение

Выполним чертёж согласно условия:

OGE-mat-9-klass-2019-14var-8-variant-15

Дано:

AB = 12
AC = 72
BD ⊥ AO

Прямая AO (AE) проходит через центр круга и является диаметром, значит треугольники ∆ABE и ∆AEC являются прямоугольными (по свойству вписанного треугольника). Следовательно углы ∠ECA и ∠ABE — прямые.

Рассмотрим треугольники ∆AEB и ∆ABF.

Данные треугольники прямоугольные и имеют общий угол ∠BAE. Следовательно эти треугольники подобны, а их стороны пропорциональны:

    \[ \frac{AE}{AB} = \frac{AB}{AF} \]

    \[ AB^2 = AE * AF \]

Рассмотрим треугольники ∆AEC и ∆AFD.

Данные треугольники прямоугольные и имеют общий угол ∠FAD. Следовательно эти треугольники подобны, а их стороны пропорциональны:

    \[ \frac{AE}{AD} = \frac{AC}{AF} \]

    \[ AD = AE \frac{AF}{AC} \]

Итак, мы имеем две формулы:

    \[ AB^2 = AE * AF \]

и

    \[ AD = AE \frac{AF}{AC} \]

Подставим во вторую формулу значение произведения AE * AF из первой формулы. Получим

    \[ AD = \frac{AB^2}{AC} \]

Подставим значение отрезков из условия:

    \[ AD = \frac{AB^2}{AC} = \frac{12^2}{72} =  \frac{144}{72} = 2 \]

Получаем

CD = AC — AD = 72 — 2 = 70

Длина отрезка CD равна 70

Ответ:

70

Похожие посты