Меню Закрыть

ОГЭ по математике 2019. ТТЗ Ященко. 14 вариантов. Вариант 14

ОГЭ по математике 9 класс 2019 года под редакцией И. В. Ященко (14 вариантов) — Вариант 14

При написании данной работы «ОГЭ по математике 2019. ТТЗ Ященко. 14 вариантов. Вариант 14» было использовано пособие «ОГЭ 2019. Математика. 14 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ОГЭ  И. Р. Высоцкий, Л. О. Рослова, Л. В. Кузнецова, В. А. Смирнов, А. В. Хачатурян, С. А. Шестаков, Р. К. Гордин, А. С. Трепалин, А. В. Семенов, П. И. Захаров; под редакцией И. В. Ященко. — М.: Издательство «Экзамен», МЦНМО, 2019″.

Часть 1

Модуль «Алгебра»


  1. Найдите значение выражения

    \[ 15 * (\frac{1}{5})^2 - 8 * \frac{1}{5} \]

Решение

    \[ 15 * (\frac{1}{5})^2 - 8 * \frac{1}{5} = 15 * \frac{1}{25} - \frac{8}{5} = 3 * \frac{1}{5} - \frac{8}{5} = \]

    \[ = \frac{3}{5} - \frac{8}{5} = \frac{3 - 8}{5} = \frac{-5}{5} = -1 \]

Ответ:

-1


  1. В таблице приведены результаты группового этапа Лиги Чемпионов* 2016/2017 в группе А.
Команда Победы Ничьи Поражения
«Арсенал» 4 2 0
«Базель» 0 2 4
«Лудогорец» 0 3 3
«ПСЖ» 3 3 0

За победу начисляется 3 очка, за ничью — 1 очко, за поражение — 0 очков. Первое место в группе занимает команда, набравшая наибольшее число очков. Какая команда заняла последнее место в группе?

  1. «Арсенал»
  2. «Базель»
  3. «Лудогорец»
  4. «ПСЖ»

*Лига Чемпионов — футбольный турнир

Решение

Посчитаем количество очков, набранное каждой командой:

«Арсенал»

4 * 3 + 2 * 1 + 0 = 12 + 2 = 14

«Базель»

0 + 2 * 1  + 0 = 2

«Лудогорец»

0 + 3 * 1  + 0 = 3

«ПСЖ»

3 * 3 + 3 * 1  + 0 = 9 + 3 = 12

Последнее место в группе заняла команда «Базель»

Ответ:

2


  1. Между какими числами заключено число √56
  1. 55 и 57
  2. 3 и 4
  3. 19 и 21
  4. 7 и 8
Решение

Ответы 1 и 3 сразу отпадают, поскольку квадраты этих чисел очень большие.

Ответ 2 тоже не подходит, поскольку квадраты этих числе очень малы: 9 и 16

Правильный ответ — 4, поскольку квадраты числе 7 и 8 соответственно равны 49 и 64.

Ответ:

4


  1. Найдите значение выражения 25 * 5-1
Решение

    \[ 25 * 5^{-1} = 5^2 * 5^{-1} = 5^{2 + (-1)} = 5^{2 - 1}  = 5^1 = 5 \]

Ответ:

5


  1. На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпавших в Мурманске с 7 по 22 ноября 1995 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Определите по рисунку, сколько дней из данного периода в Мурманске выпало более 3 миллиметра осадков.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-13-variant-01

Решение

На графике видно два пиковых значения, превышающих отметку 3 миллиметра осадков — 13 и 16 ноября.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-14-variant-01

2 дня в Мурманске выпадало более 3 миллиметра осадков.

Ответ:

2


  1. Найдите корень уравнения 4 * (x + 10) = -1
Решение

4 * (x + 10) = -1

4x + 40 = -1

4x = -1 — 40

4x = -41

x = -41 : 4

x = -10,25

Ответ:

-10,25


  1. Стоимость проезда в электропоезде составляет 131 рубль. Школьникам предоставляется скидка 50%. Сколько рублей будет стоить проезд для 3 взрослых и 6 школьников?
Решение

131 руб — 100%

Найдём стоимость проезда для школьника

131 : 2 = 65,5

Найдём стоимость проезда для 3 взрослых и 6 школьников

131 * 3 + 65,5 * 6 = 393 + 393 = 786

Ответ:

786


  1. На диаграммах показано распределение земель по категориям Уральского, Приволжского, Южного и Сибирского федеральных округов. Определите по диаграмме, в каких округах доля земель сельскохозяйственного назначения превышает 50%.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-14-variant-02

*Прочие земли — это земли поселений; земли промышленности и иного социального назначения; земли особо охраняемых территорий и объектов.

  1. Уральский ФО
  2. Приволжский ФО
  3. Южный ФО
  4. Сибирский ФО
Решение

50% — это половина круга

На диаграмме хорошо видно, что доля земель сельскохозяйственного назначения превышает 50% в двух ФО: Приволжском и Южном.

Ответ:

23


  1. Датчик измеряет уровень воды в водохранилище по отношению к ординару (нормальному уровню). Расположите события в порядке возрастания их вероятностей:

1) «уровень воды не ниже ординара»
2) «уровень между отметками 1,2 и 1,9 м выше ординара»
3) «уровень выше отметки «0,9 м выше ординара»
4) «уровень выше отметки «0,4 м выше ординара»

В ответе запишите последовательность цифр без пробелов и посторонних знаков.

Решение

Данная задача не решается путем каких-либо формул, она решается путём обычного рассуждения.

Из всех предложенных вероятностей на первом месте стоит вероятность 1) — она возникнет даже при малейшем отклонении уровня воды выше ординара.

Следующей из предложенных вероятностей стоит вероятность 4) — поскольку отметка 0,4 м более близка к ординару. И уж если вода начнет подниматься, то достигнет данной отметки быстрее чем другие отметки.

По такому же принципу рассматривается вероятность 3) — поскольку отметка 0,9 следует за отметкой 0,4 м

И последней вероятностью стоит 2) — это наиболее удалённая отметка от ординара.

Получаем последовательность вероятностей: 1, 4, 3, 2.

Однако, по условию задачи их необходимо расположить в порядке возрастания, получаем: 2, 3, 4, 1.

Ответ:

2341


  1. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Формулы:

1)

    \[ y = -\frac{2}{x}  \]

2)  

    \[ y = 2x   \]

3)  

    \[ y = x^2 - 2\]

Графики:

OGE-mat-9-klass-2019-14var-14-variant-03

В таблице под каждой буквой укажите соответсвующий номер.

Решение
  1. Графику А соответсвует функция 3, поскольку функция представлена параболой (поскольку перед нами квадратное уравнение). Выполним проверку: a) при х = -2,  y = 2; б) при х = 0,  y = -2; г) при х = 2, y = 2;
  2. Графику Б соответсвует функция 2, поскольку функция представлена прямой. Выполним проверку: a) при х = 0,  y = 0; б) при х = 2, y = 4; в) при х = -2, y = -4
  3. Графику В соответсвует функция 1, поскольку функция представлена гиперболой — х находится в знаменателе дроби.

Ответ:

А — 3 ; Б — 2 ; В — 1


  1. Дана арифметическая прогрессия (an), разность которой равна 5,5 и а1 = -6,9. Найдите а6
Решение

Дано

d = 5,5
а1 = -6,9

Для арифметической прогрессии существует формула:

an = a1 + d(n-1)

Отсюда получим

a6 = a1 + d(6-1) = (-6,9) + 5,5 * 5 = -6,9 + 27,5 = 20,6

a6 = 20,6

Ответ:

a6 = 20,6


  1. Найдите значение выражения

    \[ 28ab + (2a - 7b)^2 \]

при

    \[ a = \sqrt{15}, b = \sqrt{8} \]

Решение

Выполним преобразование дроби:

    \[ 28ab + (2a - 7b)^2 = 28ab + 4a^2 - 28ab + 49b^2 = 4a^2 + 49b^2 \]

подставим значения a  и b в полученное выражение

    \[ 4a^2 + 49b^2 = 4(\sqrt{15})^2 + 49(\sqrt{8})^2 = 4 * 15 + 49 * 8 = 60 + 392 = 452 \]

Ответ:

452


  1. Центростремительное ускорение движения по окружности (в м/с2) вычисляется по формуле a = w2R, где w — угловая скорость (в с-1), R — радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус R, если угловая скорость равна 8 с-1, а центростремительное ускорение равно 128 м/с2. Ответ дайте в метрах.
Решение

Исходная формула

    \[ a = w^2R \]

Отсюда будет равно

    \[ R = \frac{a}{w^2} \]

По условию задачи известно:

w = 8 с-1
a = 128 м/с2

Подставим значения в формулу:

    \[ R = \frac{a}{w^2} = \frac{128}{8^2} = \frac{128}{64} = 2 \]

Радиус равен 2

Ответ:

2


  1. Укажите решение неравенства (x + 8) (x — 3) < 0

OGE-mat-9-klass-2019-14var-14-variant-04

Решение

Преобразуем уравнение

    \[ (x + 8) (x - 3) < 0 \]

    \[ x^2 - 3x + 8x - 24 < 0 \]

    \[ x^2 + 5x - 24 < 0 \]

Перед нами квадратное уравнение, графиком которой является парабола с ветвями направленными вверх (так как коэффициент «а» положительный). Уже на этом этапе ясно, что правильный ответ 1.

Решим квадратное уравнение.

Найдём дискриминант:

    \[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 * 1 * (-24) = 25 + 96 = 121 \]

Дискриминант больше нуля, D>0, значит уравнение имеет два корня

    \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{121}}{2 * 1} = \frac{-5 + 11}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

    \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{121}}{2 * 1} = \frac{-5 - 11}{2} = \frac{-16}{2} = -8 \]

Решением данного уравнения будет множество точек в интервале [-8; 3]

Правильный ответ 1

Ответ:

1


Модуль «Геометрия»


  1. Очиститель заднего стекла автомобиля состоит из поводка и щётки, расположенных на одной прямой. Середина щётки крепится к концу поводка. Когда поводок поворачивается вправо-влево, щётка очищает стекло. Найдите площадь очищенной части стекла, если длина поводка 35 см, длина щётки 25 см, а угол поворота 180°. Значение 𝜋 считается равным 3,14. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-14-variant-05

Решение

Фигура, которую описывает очиститель заднего стекла выглядет следующим образом:

OGE-mat-9-klass-2019-14var-12-variant-07

Чтобы найти площадь фигуры, образованной очистителем заднего стекла, необходим от площади сектора круга с большим радиусом R отнять площадь сектора круга с меньшим радиусом r.

Площадь сектора круга с дугой равна произведению площади окружности с радиусом r на отношение угла сектора к углу полной окружности, т.е. 360°

    \[ S = \pi r^2 \frac{n}{360} \]

Дано:

𝜋 = 3,14
n° = 180°
R = 35 + (25 : 2) = 35 + 12,5 = 47,5
r = 35 — (25 : 2) = 35 — 12,5 = 22,5

Подставим данные значения в формулу и найдём площадь большего сектора, образованного радиусом R:

    \[ S_1 = \pi R^2 \frac{n}{360} = 3,14 * 47,5^2 * \frac{180}{360} = 3,14 * 2256,25 * \frac{1}{2} = \frac{7084,625}{2} \]

Подставим данные значения в формулу и найдём площадь меньшего сектора, образованного радиусом r:

    \[ S_2 = \pi r^2 \frac{n}{360} = 3,14 * 22,5^2 * \frac{180}{360} = 3,14 * 506,25* \frac{1}{2} = \frac{1589,625}{2} \]

Отсюда искомая площадь будет равна:

    \[ S = S_1 - S_2 = \frac{7084,625}{2} - \frac{1589,625}{2} = \frac{7084,625 - 1589,625}{2} = \frac{5495}{2} = 2747,5 \]

Площадь очищенной части стекла равна 2747,5 см2

Ответ:

2747,5 см2


  1. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 11, AB = 20. Найдите  sin B.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-13-variant-07

Решение

OGE-mat-9-klass-2019-14var-11-variant-08

По условию задачи дано:

C = 90°
AC = b = 11
AB = c = 20

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

    \[ sinB = \frac{b}{c} =  \frac{11}{20} =0,55 \]

sin B = 0,55

Ответ:

sin B = 0,55


  1. Периметр треугольника равен 140, а одна из сторон равна 56, а радиус вписанной в него окружности равен 9. Найдите площадь этого треугольника.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-13-variant-08

Решение

Определение: Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности:

    \[ S = pr \]

где p — это полупериметр, r — радиус вписанной окружности

    \[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{140}{2} = 70 \]

Подставляем значения в первую формулу

    \[ S = pr = 70 * 9 = 630 \]

Площадь треугольника равна 630

Ответ:

630


  1. Сторона квадрата равна 6√2. Найдите диагональ этого квадрата.
Решение

Диагональ квадрата вычисляется по формуле

    \[ d = s\sqrt{2} \]

где d — длина диагонали квадрата, s — длина стороны квадрата

    \[ d = s\sqrt{2} = 6\sqrt{2} * \sqrt{2} = 6 * 2 = 12 \]

Длина диагонали квадрата равна 12

Также диагональ квадрата можно найти по Теореме Пифагора, поскольку диагональ делит квадрат на 2 равных прямоугольных треугольника. Нам известны длины двух катетов и требуется найти длину гипотенузы (диагонали).

    \[ с^2 = a^2 + b^2 = (6\sqrt{2})^2 + (6\sqrt{2})^2 = 36 * 2 + 36 * 2 = 72 + 72 = 144 \]

    \[ с = \sqrt{144} = 12 \]

Ответ:

12


  1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена трапеция. Найдите длину ее средней линии.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-14-variant-06

Решение

Определение: Длина средней линии трапеции равна полусумме ее оснований.

Из чертежа видно, что длина меньшего основания трапеции равна 3, а длина большего основания трапеции равна 9.

    \[ \frac{a + b }{2} = \frac{3 + 9 }{2} = \frac{12 }{2} =6 \]

Длина средней линии трапеции равна 6

Ответ:

6


  1. Какое из следующих утверждений верно?
  1. Тангенс любого острого угла меньше единицы.
  2. Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм называется ромбом.
  3. Точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равно удалена от концов этого отрезка.
Решение

Данное задание не является задачей. Вопросы, перечисленные здесь необходимо знать наизусть и уметь на них отвечать.

  1. Неверно — тангенс острого угла бывает и больше единицы (например, тангенс 60 градусов равен √3)
  2. Неверно — Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм называется прямоугольником.
  3. Верно — это свойство серединного перпендикуляра

Ответ:

3


Часть 2

Модуль «Алгебра»


  1. Решите систему уравнений

    \[ \left\{\begin{matrix} 7x^2 - 5x = y\\ 7x - 5 = y \end{matrix}\right.  \]

Решение

Приравняем данные уравнения

    \[ 7x^2 - 5x = 7x - 5 \]

    \[ 7x^2 - 5x - 7x + 5 = 0 \]

    \[ 7x^2 - 12x + 5 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение.

Найдём дискриминант:

    \[ D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 * 7 * 5 = 144 - 140 = 4 \]

Дискриминант больше нуля D>0, уравнение имеет два корня:

    \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-12) + \sqrt{4}}{2 * 7} = \frac{12 + 2}{14} = \frac{14}{14} = 1 \]

    \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-12) - \sqrt{4}}{2 * 7} = \frac{12 - 2}{14} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7} \]

Найдём значение y для каждого x

    \[ y_1 = 7x - 5 = 7 * 1 - 5 = 7 - 5 = 2 \]

    \[ y_2 = 7x - 5 = 7 * \frac{5}{7}  - 5 = 5 - 5 = 0 \]

Решением данной системы уравнений является (1; 2); (5/7; 0)

Ответ:

(1; 2); (5/7; 0)


  1. Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 54 км/ч, а вторую — со скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
Решение

Определение: Средняя скорость равна отношению расстояния к затраченному времени на преодоление данного расстояния.

    \[ v = \frac{S}{t} \]

По условию задачи дано

v1 = 54 км/ч
v2 = 90 км/ч
S — длина всего пути в км

Половина пути равна = S/2

Время потраченное на первую половину пути:

    \[ t_1 = \frac{\frac{S}{2}}{v_1} = \frac{\frac{S}{2}}{54} = \frac{S}{2 * 54} = \frac{S}{108} \]

Время потраченное на вторую половину пути:

    \[ t_2 = \frac{\frac{S}{2}}{v_2} = \frac{\frac{S}{2}}{90} = \frac{S}{2 * 90} = \frac{S}{180} \]

Средняя скорость автомобиля будет равна:

    \[ v = \frac{S}{t} = \frac{S}{t_1 + t_2} = \frac{S}{\frac{S}{108} + \frac{S}{180}} = \frac{S}{S * (\frac{1}{108} + \frac{1}{180})} = \]

    \[ = \frac{1}{\frac{1}{108} + \frac{1}{180}} = \frac{1}{\frac{5}{540} + \frac{3}{540}} = \frac{1}{\frac{8}{540}} = \]

    \[ = \frac{540}{8} = 67,5 \]

Средняя скорость автомобиля будет равна 67,5 км/ч

Ответ:

67,5 км/ч


  1. Постройте график функции

    \[ y = \frac{(x^2 + 0,25) (x + 1)}{-1 - x} \]

и определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение

Определим область допустимых значений

Так как делить на ноль нельзя, знаменатель не может равняться 0

-1 -x ≠ 0

— x ≠ 1

x ≠ -1

Упростим выражение

    \[ y = \frac{(x^2 + 0,25) (x + 1)}{-1 - x} =  \frac{(x^2 + 0,25) (-1 - x) (-1)}{-1 - x} = (x^2 + 0,25) (-1) = \]

    \[= -x^2 - 0,25 \]

OGE-mat-9-klass-2019-14var-14-variant-07

Найдем при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Для этого надо составить систему из данных функций:

    \[ \left\{\begin{matrix} y = -x^2 - 0,25 \\ y = kx \end{matrix}\right.  \]

    \[ -x^2 - 0,25 = kx \]

    \[ -x^2 - kx - 0,25 = 0 \]

Решим, полученное квадратное уравнение.

Найдём дискриминант:

    \[ D = b^2 - 4ac = k^2 - 4 * (-1) * (-0,25) = k^2 - 1 \]

По условию задачи необходимо найти значения k при которых прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку, следовательно корень этой системы должен быть только один. Значит дискриминант должен быть равен нулю.

    \[ D = k^2 - 1 = 0 \]

    \[ k^2 = 1 \]

    \[ k = 1 \]

Учитывая то, что k представлена в квадрате, значит k может принимать как положительные, так и отрицательные значения -1; 1

Заметим, что в нашем графике есть «выколотая» точка при x=-1, через которую может пройти искомая прямая. Найдем координату «y» этой точки:

    \[ y = -x^2 - 0,25 = -1^2 - 0,25 = -1 - 0,25 = -1,25 \]

Итак, точка (-1; -1,25) является «выколотой». Подставим данные значения x и y в заданное уравнение прямой:

    \[ y = kx \]

    \[ -1,25 = k * -1 \]

    \[ k = \frac{-1,25}{-1} = 1,25 \]

y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку при следующие значениях k: 1,25; -1; 1

Ответ:

1,25; -1; 1


  1. Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответсвенно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK = 6, а сторона AC в 1,5 раза больше стороны BC.
Решение

Выполним чертёж, согласно заданного условия:

OGE-mat-9-klass-2019-14var-13-variant-11

Соединив точки пересечения K и P треугольника ABC с кругом, мы получили вписанный четырёхугольник KBCP.

Поскольку четырёхугольник KBCP впи­сан в окружность, сумма его про­ти­во­по­лож­ных углов равна 180°, следовательно:

∠KBC (1) + ∠KPC(2) = 180°

Углы ∠APK (3) и ∠KPC (2) являются смежными углами, следовательно их сумма также равна 180°

∠APK (3) + ∠KPC (2) = 180°

Исходя из приведённых равенств углов получаем, что углы ∠KBC (1) и ∠APK (3)  равны.

Аналогичная ситуация с углами ∠BCP (5) и ∠PKB (4)

∠BCP (5) + ∠PKB (4) = 180°

Углы ∠PKB (4) и ∠AKP (6) являются смежными углами, следовательно их сумма также равна 180°

∠PKB (4) + ∠AKP (6) = 180°

Исходя из приведённых равенств углов получаем, что углы ∠BCP (5) и ∠AKP (6)  равны.

Рассмотрим треугольники ∆ABC и ∆AKP

Данные треугольники подобны по третьему признаку подобия треугольников.

Следовательно

    \[ \frac{KP}{BC} = \frac{AK}{AC} = \frac{AP}{AB} \]

Рассмотрим равенство

    \[ \frac{KP}{BC} = \frac{AK}{AC} \]

Найдём отсюда чему равен KP

    \[ KP = \frac{AK * BC}{AC} \]

По условию задачи сторона AC в 1,5 раза больше стороны BC

AC = 1,5 * BC

Подставим значение AC и AK = 6 в формулу

    \[ KP = \frac{AK * BC}{AC} = \frac{AK * BC}{1,5 * BC} = \frac{AK}{1,5} = \frac{6}{1,5} = 4 \]

Длина отрезка KP равна 4

Ответ:

4


  1. В треугольнике ABC с тупым углом BAC проведены высоты AA1 и BB1. докажите, что треугольники A1CB1 и ABC подобны.
Решение

Выполним чертёж, согласно заданного условия:

OGE-mat-9-klass-2019-14var-14-variant-08

Определение: Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону.

Следовательно, углы ∠AA1C и ∠BB1C являются прямыми.

Рассмотрим треугольники ∆AA1C и ∆BB1C

Данные треугольники являются прямоугольными, поскольку углы ∠AA1C и ∠BB1C прямые.

Углы ∠A1CA и ∠B1CB равны, как вертикальные.

Углы ∠A1AC и ∠B1BC также равны по двум признакам:

1) Сумма углов треугольника составляет 180°. Из выше сказанного будет верным равенство:

∠A1AC = ∠B1BC = 180° — ∠A1CA — ∠A1AC = 180° — ∠B1CB — ∠B1BC

2) Углы ∠A1AC и ∠B1BC равны как углы с вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми сторонами

Следовательно треугольники ∆AA1C и ∆BB1C подобны. Для подобных треугольников справедливо следующее отношение:

    \[ \frac{CA}{CB} = \frac{AA1}{BB1} = \frac{CA1}{CB1} \]

Рассмотрим треугольники ∆A1CB1 и ∆ABC

Углы ∠A1CB1 и ∠ACB равны, как вертикальные.

Ранее мы установили, что

    \[ \frac{CA}{CB} = \frac{CA1}{CB1} \]

Следовательно данные треугольники подобны.

Утверждение доказано.


  1. Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 7, а расстояние от точки K до стороны AB равно 4.
Решение

Выполним чертёж согласно условия:

OGE-mat-9-klass-2019-14var-13-variant-14

Дано:

BC = 7
KH = 4

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту. Основание BC известно из условия. Найдем чему равна высота.

Проведём через точку пересечения биссектрис K высоту параллелограмма NM.

Рассмотрим треугольники ∆AKH и ∆AKN

Данные треугольники прямоугольные, поскольку углы ∠AHK и ∠KNA прямые.

Сторона AK у данных треугольников общая.

Углы ∠HAK и ∠KAN равны, поскольку образованы биссектрисой.

Следовательно, треугольники ∆AKH и ∆AKN равны.

Отсюда стороны HK и NK также равны

HK = NK = 4

Рассмотрим треугольники ∆BKH и ∆BKM

Данные треугольники прямоугольные, поскольку углы ∠BHK и ∠BMK прямые.

Сторона BK у данных треугольников общая.

Углы ∠HBK и ∠MBK равны, поскольку образованы биссектрисой.

Следовательно, треугольники ∆BKH и ∆BKM равны.

Отсюда стороны HK и MK также равны

HK = MK = 4

Высота параллелограмма равна

MN = NK + MK = 4 + 4 = 8

Найдём площадь параллелограмма:

S = ah = BC * MN = 7 * 8 = 56

Площадь параллелограмма равна 56

Ответ:

56