ОГЭ по математике 2019. ТТЗ Ященко. Вариант 13 с решением

ОГЭ по математике 9 класс 2019 года под редакцией И. В. Ященко (14 вариантов) – Вариант 13

При написании данной работы “ОГЭ по математике 2019. ТТЗ Ященко. 14 вариантов. Вариант 13” было использовано пособие “ОГЭ 2019. Математика. 14 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ОГЭ И. Р. Высоцкий, Л. О. Рослова, Л. В. Кузнецова, В. А. Смирнов, А. В. Хачатурян, С. А. Шестаков, Р. К. Гордин, А. С. Трепалин, А. В. Семенов, П. И. Захаров; под редакцией И. В. Ященко. – М.: Издательство “Экзамен”, МЦНМО, 2019″.

Часть 1

Модуль “Алгебра”

Найдите значение выражения

$14 * (\frac{1}{7})^2 - 23 * \frac{1}{7}$

Решение

$14 * (\frac{1}{7})^2 - 23 * \frac{1}{7} = 14 * \frac{1}{49} - \frac{23}{7} = \frac{2}{7} - \frac{23}{7} = \frac{-21}{7} = -3$

Ответ:

-3

В таблице приведены расстояния от Солнца до четырёх планет Солнечной системы. Какая из этих планет ближе всех к солнцу?

Планета	Нептун	Юпитер	Уран	Венера
Расстояние (в км)	4,497 * 10⁹	7,781 * 10⁸	2,871 * 10⁹	1,082 * 10⁸

Нептун
Юпитер
Уран
Венера

Решение

Планеты Уран и Нептун сразу отпадают, поскольку их расстояние исчисляется 10⁹

Самое маленькое значение из приведённых у Венеры: 1,082 * 10⁸

Ответ:

Между какими числами заключено число √72

24 и 26
8 и 9
71 и 73
4 и 5

Решение

Ответы 1 и 2 сразу отпадают, поскольку квадраты этих чисел очень большие.

Ответ 4 тоже не подходит, поскольку квадраты этих числе очень малы: 16 и 25

Правильный ответ – 2, поскольку квадраты числе 8 и 9 соответственно равны 64 и 81.

Ответ:

Найдите значение выражения

$36 * 6^{-2}$

Решение

Представим число 36, как 6 в квадрате

$36 * 6^{-2} = 6^2 * 6^{-2} = 6^{2 + (-2)} = 6^{2-2} = 6^0 = 1$

Ответ:

На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпавших в Мурманске с 7 по 22 ноября 1995 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали – количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Определите по рисунку, какого числа в данный период в Мурманске выпало ровно 4 миллиметра осадков.

Решение

Проведём от отметки 4 мм горизонтальную прямую до точки пересечения ее с графиком. Опустим из точки пересечения перпендикуляр на горизонтальную ось.

В Мурманске выпало ровно 4 миллиметра осадков 13 ноября

Ответ:

Найдите корень уравнения

$4 * (x - 8) = -5$

Решение

$4 * (x - 8) = -5$

$(x - 8) = \frac{-5}{4}$

$x = \frac{-5}{4} + 8 = \frac{-5}{4} + \frac{32}{4} = \frac{27}{4} = 6,75$

Корень уравненя : 6,75

Ответ:

6,75

Стоимость проезда в электропоезде составляет 231 рубль. Школьникам предоставляется скидка 50%. Сколько рублей будет стоить проезд для 5 взрослых и 12 школьников?

Решение

231 руб – 100%

Найдём стоимость проезда для школьника

231 : 2 = 115,5

Найдём стоимость проезда для 5 взрослых и 12 школьников

231 * 5 + 115,5 * 12 = 1155 + 1386 = 2541

Ответ:

2541

На диаграмме показано содержание питательных веществ в какао, молочном шоколаде, творожных сырках и сгущенном молоке. Определите по диаграмме, в каком продукте содержание белков превышает 20%.

*к прочему относится вода, витамины и минеральные вещества

какао
шоколад
сырки
сгущенном молоке

Решение

20% – это 1/5 часть круга

На диаграмме хорошо видно, что содержание белков превышает 20% только в какао

Ответ:

Правильную игральную кость бросают дважды. Известно, что сумма выпавших очков больше 8. Найдите вероятность события “при втором броске выпало больше 4 очков”.

Решение

В правильной игральной кости шесть граней с нанесенными цифрами от 1 до 6.

Сумму более 8 очков дают два броска в следующих комбинациях (первая цифра – первый бросок, вторая цифра – второй бросок):

3:6, 4:5, 4:6, 5:4, 5:5, 5:6, 6:3, 6:4, 6:5, 6:6

Всего возможных исходов 10.

Из них, удовлетворяющих условию задачи исходов – “при втором броске выпало больше 4 очков” – 7 исходов.

Чтобы найти вероятность такого события воспользуемся классической формулой определения вероятностей:

$P_{(A)} = \frac{m}{n}$

где

m – число благоприятствующих событию A исходов,
n – число всех элементарных равновозможных исходов в испытании.

Получаем:

$P_{(A)} = \frac{7}{10} = 0,7$

Вероятность события “при втором броске выпало больше 4 очков” равна 0,7.

Ответ:

0,7

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Формулы:

$y = \frac{2}{x}$

$y = 2x$

$y = x^2$

Графики:

В таблице под каждой буквой укажите соответсвующий номер.

Решение

Графику А соответсвует функция 3, поскольку функция представлена параболой. Выполним проверку: a) при х = -2, y = 4; б) при х = 1, y = 1; в) при х = 0, y = 0; г) при х = 1, y = 1; д) при х = 2, y = 4
Графику Б соответсвует функция 2, поскольку функция представлена прямой. Выполним проверку: a) при х = 0, y = 0; б) при х = 2, y = 4; в) при х = -2, y = -4
Графику В соответсвует функция 1, поскольку функция представлена гиперболой – х находится в знаменателе дроби.

Ответ:

А – 3 ; Б – 2 ; В – 1

Дана арифметическая прогрессия (a_n), разность которой равна 4,3 и а₁ = -8,2. Найдите а₇

Решение

Дано

d = 4,3
а₁ = -8,2

Для арифметической прогрессии существует формула:

a_n = a₁ + d(n-1)

Отсюда получим

a₇ = a₁ + d(7-1) = (-8,2) + 4,3 * 6 = -8,2 + 25,8 = 17,6

a₇ = 17,6

Ответ:

a₇ = 17,6

Найдите значение выражения

$12ab + 2 (-3a + b)^2$

при

$a = \sqrt{10}, b = \sqrt{3}$

Решение

Выполним преобразование дроби:

$12ab + 2 (-3a + b)^2 = 12ab + 2 (9a^2 - 6ab + b^2) = 12ab + 18a^2 - 12ab + 2b^2 = 18a^2 + 2b^2$

подставим значения a и b в полученное выражение

$18a^2 + 2b^2 = 18 * (\sqrt{10})^2 + 2 * (\sqrt{3})^2 = 18 * 10 + 2 * 3 = 180 + 6 = 186$

Ответ:

186

Центростремительное ускорение движения по окружности (в м/с²) вычисляется по формуле a = w²R, где w – угловая скорость (в с^-1), R – радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус R, если угловая скорость равна 4 с^-1, а центростремительное ускорение равно 96 м/с². Ответ дайте в метрах.

Решение

Исходная формула

$a = w^2R$

Отсюда R будет равно

$R = \frac{a}{w^2}$

По условию задачи известно:

w = 4 с^-1a = 96 м/с²

Подставим значения в формулу:

$R = \frac{a}{w^2} = \frac{96}{4^2} = \frac{96}{16} = 6$

Радиус R равен 6

Ответ:

Укажите решение неравенства (x + 1) (x – 9) > 0

Решение

Преобразуем уравнение

$(x + 1) (x - 9) > 0$

$x^2 - 9x + 1x - 9 > 0$

$x^2 - 8x - 9 > 0$

Решим квадратное уравнение.

Найдём дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 * 1 * (-9) = 64 + 36 = 100$

Дискриминант больше нуля, D>0

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-8) + \sqrt{100}}{2 * 1} = \frac{8 + 10}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-8) - \sqrt{100}}{2 * 1} = \frac{8 - 10}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Решением данного уравнения будет множество точек в интервале (-∞ ; -1][9; +∞ )

Правильный ответ 2

Ответ:

Модуль “Геометрия”

Очиститель заднего стекла автомобиля состоит из поводка и щётки, расположенных на одной прямой. Середина щётки крепится к концу поводка. Когда поводок поворачивается вправо-влево, щётка очищает стекло. Найдите площадь очищенной части стекла, если длина поводка 30 см, длина щётки 28 см, а угол поворота 120°. Значение 𝜋 считается равным 3,14. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение

Фигура, которую описывает очиститель заднего стекла выглядет следующим образом:

Чтобы найти площадь фигуры, образованной очистителем заднего стекла, необходим от площади сектора круга с большим радиусом R отнять площадь сектора круга с меньшим радиусом r.

Площадь сектора круга с дугой n° равна произведению площади окружности с радиусом r на отношение угла сектора n° к углу полной окружности, т.е. 360°

$S = \pi r^2 \frac{n}{360}$

Дано:

𝜋 = 3,14
n° = 120°
R = 30 + (28 : 2) = 30 + 14 = 44
r = 30 – (28 : 2) = 30 – 14 = 16

Подставим данные значения в формулу и найдём площадь большего сектора, образованного радиусом R:

$S_1 = \pi R^2 \frac{n}{360} = 3,14 * 44^2 * \frac{120}{360} = 3,14 * 1936 * \frac{1}{3} = \frac{6079.04}{3}$

Подставим данные значения в формулу и найдём площадь меньшего сектора, образованного радиусом r:

$S_2 = \pi r^2 \frac{n}{360} = 3,14 * 16^2 \frac{120}{360} = 3,14 * 256 \frac{1}{3} = \frac{803,84}{3}$

Отсюда искомая площадь будет равна:

$S = S_1 - S_2 = \frac{6079.04}{3} - \frac{803,84}{3} = \frac{6079.04 - 803,84}{3} = \frac{5275,2}{3} = 1758,4$

Площадь очищенной части стекла равна 1758,4 см²

Ответ:

1758,4 см²

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 9, AB = 25. Найдите sin B.

Решение

По условию задачи дано:

C = 90°
AC = b = 9
AB = c = 25

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

$sinB = \frac{b}{c} = \frac{9}{25} =0,36$

sin B = 0,36

Ответ:

sin B = 0,36

Периметр треугольника равен 120, а одна из сторон равна 40, а радиус вписанной в него окружности равен 7. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Определение: Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности:

$S = pr$

где p – это полупериметр, r – радиус вписанной окружности

$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{120}{2} = 60$

Подставляем значения в первую формулу

$S = pr = 60 * 7 = 420$

Площадь треугольника равна 420

Ответ:

420

Сторона квадрата равна 9√2. Найдите диагональ этого квадрата.

Решение

Диагональ квадрата вычисляется по формуле

$d = s\sqrt{2}$

где d – длина диагонали квадрата, s – длина стороны квадрата

$d = s\sqrt{2} = 9 \sqrt{2} * \sqrt{2} = 9 * 2 = 18$

Длина диагонали квадрата равна 18

Также диагональ квадрата можно найти по Теореме Пифагора, поскольку диагональ делит квадрат на 2 равных прямоугольных треугольника. Нам известны длины двух катетов и требуется найти длину гипотенузы (диагонали).

$с^2 = a^2 + b^2 = (9 \sqrt{2})^2 + (9 \sqrt{2})^2 = 81 * 2 + 81 * 2 = 162 + 162 = 324$

$с = \sqrt{324} = 18$

Ответ:

На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена трапеция. Найдите длину ее средней линии.

Решение

Определение: Длина средней линии трапеции равна полусумме ее оснований.

Из чертежа видно, что длина меньшего основания трапеции равна 1, а длина большего основания трапеции равна 7.

$\frac{a + b }{2} = \frac{1 + 7 }{2} = \frac{8 }{2} =4$

Длина средней линии трапеции равна 4

Ответ:

Какое из следующих утверждений верно?

Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.
Биссектриса треугольника делит пополам сторону, к которой проведена.

В ответ запишите номера выбранных утверждений.

Решение

Данное задание не является задачей. Вопросы, перечисленные здесь необходимо знать наизусть и уметь на них отвечать.

Неверно – Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия
Верно – это свойство диагоналей прямоугольников.
Неверно – биссектриса делит угол пополам, а сторону делит медиана.

Ответ:

Часть 2

Модуль “Алгебра”

Решите систему уравнений

$\left\{\begin{matrix} 2x^2 - x = y\\ 2x - 1 = y \end{matrix}\right.$

Решение

Приравняем данные уравнения

$2x^2 - x = 2x - 1$

$2x^2 - x - 2x + 1 = 0$

$2x^2 - 3x + 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение.

Найдём дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 2 * 1 = 9 - 8 = 1$

Дискриминант больше нуля D>0, уравнение имеет два корня:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 * 2} = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 * 2} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$

Найдём значение y для каждого x

$y_1 = 2x - 1 = 2 * 1 - 1 = 2 - 1 = 1$

$y_2 = 2x - 1 = 2 * 0,5 - 1 = 1 - 1 = 0$

Решением данной системы уравнений является (-1; 1); (0,5; 0)

Ответ:

(-1; 1); (0,5; 0)

Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 84 км/ч, а вторую – со скоростью 108 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Решение

Определение: Средняя скорость равна отношению расстояния к затраченному времени на преодоление данного расстояния.

$v = \frac{S}{t}$

По условию задачи дано

v1 = 84 км/ч
v2 = 108 км/ч
S – длина всего пути в км

Половина пути равна = S/2

Время потраченное на первую половину пути:

$t_1 = \frac{\frac{S}{2}}{v_1} = \frac{\frac{S}{2}}{84} = \frac{S}{2 * 84} = \frac{S}{168}$

Время потраченное на вторую половину пути:

$t_2 = \frac{\frac{S}{2}}{v_2} = \frac{\frac{S}{2}}{108} = \frac{S}{2 * 108} = \frac{S}{216}$

Средняя скорость автомобиля будет равна:

$v = \frac{S}{t} = \frac{S}{t_1 + t_2} = \frac{S}{\frac{S}{168} + \frac{S}{216}} = \frac{S}{S * (\frac{1}{168} + \frac{1}{216})} =$

$= \frac{1}{\frac{1}{168} + \frac{1}{216}} = \frac{1}{\frac{9}{1512} + \frac{7}{1512}} = \frac{1}{\frac{16}{1512}} =$

$= \frac{1512}{16} = 94,5$

Средняя скорость автомобиля будет равна 94,5 км/ч

Ответ:

94,5 км/ч

Постройте график функции

$y = \frac{(x^2 + 1) (x - 2)}{2 - x}$

и определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение

Определим область допустимых значений

Так как делить на ноль нельзя, знаменатель не может равняться 0

x – 2 ≠ 0

x ≠ 2

Упростим выражение

$y = \frac{(x^2 + 1) (x - 2)}{2 - x} = \frac{(x^2 + 1) (x - 2)}{(x - 2)(1 - 2)} =$

$= \frac{(x^2 + 1) }{(1 - 2)} = \frac{x^2 + 1 }{-1} = -x^2 -1$

Найдем при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Для этого надо составить систему из данных функций:

$\left\{\begin{matrix} y = -x^2 - 1 \\ y = kx \end{matrix}\right.$

$-x^2 - 1 = kx$

$-x^2 - kx - 1 = 0$

Решим, полученное квадратное уравнение.

Найдём дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = k^2 - 4 * (-1) * (-1) = k^2 - 4$

По условию задачи необходимо найти значения k при которых прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку, следовательно корень этой системы должен быть только один. Значит дискриминант должен быть равен нулю.

$D = k^2 - 4 = 0$

$k^2 = 4$

$k = 2$

Учитывая то, что k представлена в квадрате, значит k может принимать как положительные, так и отрицательные значения (-2; 2)

Заметим, что в нашем графике есть “выколотая” точка при x=2, через которую может пройти искомая прямая. Найдем координату “y” этой точки:

$y = -x^2 -1 = -2^2 -1 = -4 - 1 = -5$

Итак, точка (2; -5) является “выколотой”. Подставим данные значения x и y в заданное уравнение прямой:

$y = kx$

$-5 = k * 2$

$k = \frac{-5}{2} = -2,5$

y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку при следующие значениях k: -2,5; -2; 2

Ответ:

-2,5; -2; 2

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответсвенно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK = 16, а сторона AC в 1,6 раза больше стороны BC.

Решение

Выполним чертёж, согласно заданного условия:

Соединив точки пересечения K и P треугольника ABC с кругом, мы получили вписанный четырёхугольник KBCP.

Поскольку четырёхугольник KBCP вписан в окружность, сумма его противоположных углов равна 180°, следовательно:

∠KBC (1) + ∠KPC(2) = 180°

Углы ∠APK (3) и ∠KPC (2) являются смежными углами, следовательно их сумма также равна 180°

∠APK (3) + ∠KPC (2) = 180°

Исходя из приведённых равенств углов получаем, что углы ∠KBC (1) и ∠APK (3) равны.

Аналогичная ситуация с углами ∠BCP (5) и ∠PKB (4)

∠BCP (5) + ∠PKB (4) = 180°

Углы ∠PKB (4) и ∠AKP (6) являются смежными углами, следовательно их сумма также равна 180°

∠PKB (4) + ∠AKP (6) = 180°

Исходя из приведённых равенств углов получаем, что углы ∠BCP (5) и ∠AKP (6) равны.

Рассмотрим треугольники ∆ABC и ∆AKP

Данные треугольники подобны по третьему признаку подобия треугольников.

Следовательно

$\frac{KP}{BC} = \frac{AK}{AC} = \frac{AP}{AB}$

Рассмотрим равенство

$\frac{KP}{BC} = \frac{AK}{AC}$

Найдём отсюда чему равен KP

$KP = \frac{AK * BC}{AC}$

По условию задачи сторона AC в 1,6 раза больше стороны BC

AC = 1,6 * BC

Подставим значение AC и AK = 16 в формулу

$KP = \frac{AK * BC}{AC} = \frac{AK * BC}{1,6 * BC} = \frac{AK}{1,6} = \frac{16}{1,6} = 10$

Длина отрезка KP равна 10

Ответ:

В треугольнике ABC с тупым углом BAC проведены высоты BB1 и CC1. докажите, что треугольники AB1C1 и ABC подобны.

Решение

Выполним чертёж, согласно заданного условия:

Определение: Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону.

Следовательно, углы ∠CC1A и ∠BB1A являются прямыми.

Рассмотрим треугольники ∆ACC1 и ∆ABB1

Данные треугольники являются прямоугольными, поскольку углы ∠CC1A и ∠BB1A прямые.

Углы ∠C1AC и ∠B1AB равны, как вертикальные.

Углы ∠C1CA и ∠B1BA также равны по двум признакам:

1) Сумма углов треугольника составляет 180°. Из выше сказанного будет верным равенство:

∠C1CA = ∠B1BA = 180° – ∠CC1A – ∠C1AC = 180° – ∠BB1A – ∠B1AB

2) Углы ∠C1CA и ∠B1BA равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами

Следовательно треугольники ∆ACC1 и ∆ABB1 подобны. Для подобных треугольников справедливо следующее отношение:

$\frac{AC}{AB} = \frac{CC1}{BB1} = \frac{AC1}{AB1}$

Рассмотрим треугольники ∆AB1C1 и ∆ABC

Углы ∠C1AB1 и ∠CAB равны, как вертикальные.

Ранее мы установили, что

$\frac{AC}{AB} = \frac{AC1}{AB1}$

Следовательно данные треугольники подобны.

Утверждение доказано.

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 6, а расстояние от точки K до стороны AB равно 6.

Решение

Выполним чертёж согласно условия:

Дано:

BC = 6
KH = 6

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту. Основание BC известно из условия. Найдем чему равна высота.

Проведём через точку пересечения биссектрис K высоту параллелограмма NM.

Рассмотрим треугольники ∆AKH и ∆AKN

Данные треугольники прямоугольные, поскольку углы ∠AHK и ∠KNA прямые.

Сторона AK у данных треугольников общая.

Углы ∠HAK и ∠KAN равны, поскольку образованы биссектрисой.

Следовательно, треугольники ∆AKH и ∆AKN равны.

Отсюда стороны HK и NK также равны

HK = NK = 6

Рассмотрим треугольники ∆BKH и ∆BKM

Данные треугольники прямоугольные, поскольку углы ∠BHK и ∠BMK прямые.

Сторона BK у данных треугольников общая.

Углы ∠HBK и ∠MBK равны, поскольку образованы биссектрисой.

Следовательно, треугольники ∆BKH и ∆BKM равны.

Отсюда стороны HK и MK также равны

HK = MK = 6

Высота параллелограмма равна

MN = NK + MK = 6 + 6 = 12

Найдём площадь параллелограмма:

S = ah = BC * MN = 6 * 12 = 72

Площадь параллелограмма равна 72

Ответ:

ОГЭ по математике 2019. ТТЗ Ященко. 14 вариантов. Вариант 13

ОГЭ по математике 9 класс 2019 года под редакцией И. В. Ященко (14 вариантов) – Вариант 13

Часть 1

Модуль “Алгебра”

Модуль “Геометрия”

Часть 2

Модуль “Алгебра”

Похожие посты

ОГЭ по математике 2019. ТТЗ Ященко. 38 вариантов. Вариант 10

ОГЭ по математике 2019. ТТЗ Ященко. 38 вариантов. Вариант 9

ОГЭ по математике 2019. ТТЗ Ященко. 38 вариантов. Вариант 8