Меню Закрыть

ОГЭ по математике 2019. ТТЗ Ященко. 38 вариантов. Вариант 9

ОГЭ по математике 9 класс 2019 года под редакцией И. В. Ященко (38 вариантов) — Вариант 9

При написании данной работы «ОГЭ по математике 2019. ТТЗ Ященко. 38 вариантов. Вариант 9» было использовано пособие «ОГЭ 2019. Математика. 38 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ОГЭ  И. Р. Высоцкий, Л. О. Рослова, Л. В. Кузнецова, В. А. Смирнов, А. В. Хачатурян, С. А. Шестаков, Р. К. Гордин, А. С. Трепалин, А. В. Семенов, П. И. Захаров; под редакцией И. В. Ященко. — М.: Издательство «Экзамен», МЦНМО, 2019″.

Часть 1

Модуль «Алгебра»


  1. Найдите значение выражения

        \[\frac{4,4 * 7,2}{0,9}\]

Решение

    \[ \frac{4,4 * 7,2}{0,9} = 4,4 * 8 = 35,2 \]

Ответ:

35,2


  1. Расстояние от Урана до Солнца равно 2871,2 млн км. В каком случае записана эта же величина?
  1. 2,8712 * 109 км
  2. 2,8712 * 108 км
  3. 2,8712 * 107 км
  4. 2,8712 * 106 км
Решение

Дано расстояние 2871,2 млн км.

млн км. = 1 000 000 = 106 км

Преобразуем величину 2871,2 перенеся запятую так, чтобы она стояла после первого знака

2871,2 = 2,8712 * 103

Запишем всю запись целиком

2871,2 млн км. = 2,8712 * 103 * 106 км = 2,8712 * 10км

Ответ:

номер 1.


  1. На координатной прямой отмечено число a.

OGE-mat-9-klass-2019-38var-9-variant-01

Какое из утверждений относительно этого числа является верным?

  1. 4 — a > 0
  2. 6 — a < 0
  3. a — 6 < 0
  4. a — 7 > 0
Решение

Из графика видно, что шаг на координатной прямой равен =1. Определим значение a на координатной прямой — оно равно 6,5

1) утверждение 4 — a > 0 неверное

поскольку 4 — 6,5 = -2,5 — меньше нуля

2) утверждение 6 — a < 0  верное

поскольку 6 — 6,5 = -0,5 — меньше нуля

3) утверждение a — 6 < 0  неверное

поскольку 6,5 — 6 = 0,5 — больше нуля

4) утверждение a — 7 > 0  неверное

поскольку 6,5 — 7 = -0,5 — меньше нуля

Ответ:

2


  1. Найдите значение выражения

    \[ \sqrt{8 * 75} * \sqrt{2} * \sqrt{3} \]

Решение

Теорема: Квадратный корень произведения двух неотрицательных чисел равен произведению квадратных корней из этих чисел.

Следовательно:

    \[ \sqrt{8 * 75} * \sqrt{2} * \sqrt{3} = \sqrt{8 * 75 * 2 * 3} = \sqrt{3600} = 60 \]

Ответ:

60


  1. На рисунке показано, как изменялась температура воздуха на протяжении суток. По горизонтали указано время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Найдите наибольшее значение температуры с 6:00 до 18:00. Ответ дайте в градусах Цельсия.

OGE-mat-9-klass-2019-38var-9-variant-02

Решение

Определим из графика наибольшее значение температуры с 6:00 до 18:00.

Наибольшая температура была 8 градусов Цельсия в 15:00

Ответ:

8 градусов Цельсия


  1. Решите уравнение x2 + 10 = 7x

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

Решение

Перенесём правую часть уравнения в левую сторону и приравняем уравнение к нулю

x2 + 10 = 7x

x2 + 10 — 7x = 0

x2 — 7x + 10 = 0

Решим полученное квадратное уравнение.

Для его решения необходимо найти дискриминант:

D = b2 — 4ac

D = (-7)2 — 4 * 1 * 10 = 49 — 40 = 9

Так как D > 0, то уравнение иеет два корня

х1 = (-(-7) + √9) / 2 * 1 = (7 + 3) / 2 = 10 / 2 = 5

х2 = (-(-7) — √9) / 2 * 1 = (7 — 3) / 2 = 4 / 2 = 2

Следовательно, х1 = 5 и х2 = 2 — корни заданного квадратного уравнения.

х1 = 5 — наибольший корень уравнения.

Ответ:

Наибольший корень данного уравнения: 5


  1. Поступивший в продажу в январе мобильный телефон стоил 2400 рублей. В ноябре он стал стоить 1680 рублей. На сколько процентов снизилась цена на мобильный телефон в период с января по май?
Показать решение

Итак, 2400 рублей — 100%

2400 — 1680 = 720 (р) — сумма на которую подешевел телефон

720 / 2400 * 100 = 30 (%)

Ответ:

Цена на мобильный телефон в период с января по ноябрь снизилась на 30%


  1. На диаграмме показан возрастной состав населения Японии. Определите по диаграмме, какая из возрастных категорий самая малочисленная.

OGE-mat-9-klass-2019-38var-9-variant-04

  1. 0-14 лет
  2. 15-50 лет
  3. 51-64 года
  4. 65 лет и более
Решение

На диаграмме хорошо видно, что самый маленький сектор — белый, который соответствует возрастной группе 0-14 лет — 1 группа

Ответ:

1


  1. В среднем из 75 карманных фонариков, поступивших в продажу, пятнадцать неисправны. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
Решение

75 — всего фонариков

15 — неисправных фонариков

Существует два вероятных события

  • фонарик исправен
  • фонарик не исправен

15 : 75 = 0,2 — вероятность того, что фонарик будет неисправным

Известно, что сумма всех вероятных событий равна единице. Следовательно

1 — 0,2 = 0,8 — вероятность того, что фонарик будет исправным

Ответ:

0,8


  1. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Формулы:

1)

    \[ y = -\frac{1}{2}x   \]

2)  

    \[ y = -x^2 - 2   \]

3)  

    \[ y = \sqrt{x} \]

Графики:

OGE-mat-9-klass-2019-38var-9-variant-05

В таблице под каждой буквой укажите соответсвующий номер.

Решение
  1. Изображённая на рисунке А кривая — это уже давно нам известный график квадратного корня из х, которому соответсвует функция 3. Он не имеет отрицательных значений, поскольку при x < 0, данная функция не имеет смысла.
  2. Графику Б соответсвует функция 2, поскольку функция представлена квадратным уравнением, а значит: график является параболой, ветви которой направлены вниз, учитывая отрицательное значение коэффициента «а» (-1). Выполним проверку: a) при х = 0,  y = -2; б) при х = 2,  y = -22 — 2= -6; в) при х = -2,  y = -(-2)2 — 2= -6
  3. Изображённая на рисунке В прямая соответствует функции 1, поскольку это линейная функция. Выполним проверку: a) при х = 0,  y = 0; б) при х = 1, y = -0,5; в) при х = -1, y = 0,5.

Ответ:

А — 3 ; Б — 2 ; В — 1


  1. Выписаны первые три члена арифметической прогрессии: 1; 3; 5; …

Найдите сумму первых шестидесяти её членов.

Решение

Если последовательность (an) является арифметической прогрессией, то для любого натурального значения n справедлива зависимость

    \[ a_{n+1} = a_n + d \]

где d — разность арифметической прогрессии.

По условию задачи нам даны первых три члена арифметической прогрессии, следовательно: a1 = 1; a2 = 3; a3 = 5.

найдём разность арифметической прогрессии

    \[ d = a_{n+1} - a_n = a_2 - a_1 = 3 - 1 = 2 \]

Найдём чему равно a60 используя формулу:

    \[ a_n = a_1 + d * (n - 1) \]

    \[ a_{60} = a_1 + d * (60 - 1) = 1 + 2 * (60 - 1) = 1 + 2 * 59 = 1 + 118 = 119 \]

Сумму первых n членов арифметической прогрессии можно найти, используя формулу:

    \[ S_n = \frac{(a_1 + a_n) * n}{2} \]

где n — число членов последовательности.

    \[ S_60 = \frac{(a_1 + a_60) * 60}{2} = \frac{(1 + 119) * 60}{2} = \frac{120 * 60}{2} = 3600 \]

Сумма первых шестидесяти членов прогрессии равна 3600

Ответ:

3600


  1. Найдите значение выражения

    \[ \frac{6a}{7c} - \frac{36a^2 + 49c^2}{42ac} + \frac{7c - 36a}{6a} \]

при

    \[  a = 77, c = 69 \]

Решение

Упростим выражение

    \[ \frac{6a}{7c} - \frac{36a^2 + 49c^2}{42ac} + \frac{7c - 36a}{6a} = \frac{6a * 6a}{7c * 6a} - \frac{36a^2 + 49c^2}{42ac} + \frac{(7c - 36a) * 7c}{6a * 7c} = \]

    \[ = \frac{36a^2}{42ca} - \frac{36a^2 + 49c^2}{42ac} + \frac{49c^2 - 252ac}{42ac} = \frac{36a^2 - 36a^2 - 49c^2 + 49c^2 - 252ac}{42ca} = \]

    \[ = \frac{-252ac}{42ca} = \frac{-252}{42} = -6 \]

Ответ:

-6


  1. Центростремительное ускорение движения по окружности (в м/с2) вычисляется по формуле a = w2R, где w — угловая скорость (в с-1), R — радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус R (в метрах), если угловая скорость равна 9,5 с-1, а центростремительное ускорение равно 180,5 м/с2. Ответ дайте в метрах.
Решение

Исходная формула

    \[ a = w^2R \]

Отсюда будет равно

    \[ R = \frac{a}{w^2} \]

По условию задачи известно:

w = 9,5 с-1
a = 180,5 м/с2

Подставим значения в формулу:

    \[ R = \frac{a}{w^2} = \frac{180,5}{9,5^2} = \frac{180,5}{90,25} = 2 \]

Радиус равен 2

Ответ:

2


  1. Укажите решение системы неравенств

    \[ y = \left\{\begin{matrix} -35 + 5x < 0 ,\\ 6 - 3x < -3 \end{matrix}\right.  \]

OGE-mat-9-klass-2019-38var-9-variant-06

Решение

Решим первое уравнение

-35 + 5x < 0

5x < 35

x < 35 : 5

x < 7

Решим второе уравнение

6 — 3x < -3

-3x < -3 — 6

-3x < -9

-x < -9 : 3

-x < -3

x > 3

Решению данной системы удовлетворяет множество x в промежутке [3 ; 7]

Ответ 1

Ответ:

1


Модуль «Геометрия»


  1. Проектор полностью освещает экран  A высотой 80 см, расположенный на расстоянии 120 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 330 см, чтобы он был полностью освещен, если настройки проектора остаются неизменными?

OGE-mat-9-klass-2019-38var-9-variant-07

Решение

Внесём обозначения в график

OGE-mat-9-klass-2019-14var-11-variant-07

Треугольники ∆ANM и ∆ABC являются подобными по трём углам.

Тогда справедливым будет отношение:

    \[ \frac{a}{b} = \frac{c+x}{c} \]

BC = a = 330
NM = b = 80
c = 120

Следовательно

    \[ c + x = \frac{a*c}{b} = \frac{330 * 120}{80} = 495 \]

Второй экран нужно расположить на расстоянии 495 см от проектора.

Ответ:

495


  1. В треугольнике ABC известно, что AC = 58, BM — медиана, BM = 37. Найдите AM.
Решение

Определение: Медиана треугольника ― отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Противоположной стороной вершине B является AC.

Следовательно, медиана BM делит отрезок AC пополам:

AC = AM + MC

AM = AC — MC = AC : 2 = 58 : 2 = 29

Длина AM = 29

Ответ:

29


  1. В окружности с центром O отрезки AC и BD — диаметры. Угол AOD равен 92°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

OGE-mat-9-klass-2019-38var-9-variant-08

Решение

Углы ∠AOD и ∠BOC являются вертикальными, а следовательно равны:

∠AOD = ∠BOC = 92°

Из условия задачи AC и BD — диаметры, следовательно BO и OC — это радиусы, а значит они равны.

BO = OC

Рассмотрим треугольник ∆BOC

Треугольник ∆BOC является равнобедренным, поскольку две стороны в нём равны между собой по длине BO = OC.

Определение: Сумма углов в треугольнике равна 180°

∠BOC + ∠OBC + ∠BCO = 180°

∠OBC + ∠BCO = 180° — ∠BOC = 180° — 92° = 88°

Свойства равнобедренного треугольника: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно:

∠ACB = ∠BCO = 88° : 2 = 44°

Ответ:

44°


  1. Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 102°. Найдите больший угол трапеции. Ответ дайте в градусах

OGE-mat-9-klass-2019-38var-9-variant-09

Решение

По условию задачи трапеция равнобедренная, а сумма двух её углов равна 102°.

Сумма всех углов трапеции равна 360°.

Если бы речь шла о сумме одного большого и одного маленького угла, то их сумма составляла половину от 360° — т.е. 180°. В условии задачи говорится о сумме малых углов трапеции.

360° — 102° = 258°

Так как трапеция равнобедренная, то углы, прилежащие к каждому основанию, равны между собой.

258° : 2 = 129°

Больший угол трапеции равен 129°

Ответ:

129°


  1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена трапеция. Найдите длину ее средней линии.

OGE-mat-9-klass-2019-38var-9-variant-10

Решение

Определение: Длина средней линии трапеции равна полусумме ее оснований.

Из чертежа видно, что длина меньшего основания трапеции равна 3, а длина большего основания трапеции равна 7.

    \[ \frac{a + b }{2} = \frac{3 + 7 }{2} = \frac{10 }{2} =5 \]

Длина средней линии трапеции равна 5

Ответ:

5


  1. Какое из следующих утверждений верно?
  1. Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360 градусам.
  2. Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
  3. Любой параллелограмм можно вписать в окружность

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Данное задание не является задачей. Вопросы, перечисленные здесь необходимо знать наизусть и уметь на них отвечать.

  1. Верно — это свойство четырёхуглольника
  2. Неверно — Средняя линия трапеции равна ПОЛУсумме её оснований
  3. Неверно — в окружность можно вписать только параллелограмм, у которого сумма противоположных углов равна 180°.

Ответ:

1


Часть 2

Модуль «Алгебра»


  1. Решите уравнение

    \[ x^2 - 3x + \sqrt{3 - x} = \sqrt{3 - x} + 10 \]

Решение

    \[ x^2 - 3x + \sqrt{3 - x} = \sqrt{3 - x} + 10 \]

    \[ x^2 - 3x + \sqrt{3 - x} - \sqrt{3 - x} = 10 \]

    \[ x^2 - 3x - 10 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение

Найдем дескриминант

a=1,  b=-3,  c=-10

D = b2 — 4ac = (-3)2 — 4*1*(-10) = 9 + 40 = 49

Дискриминант положительный — данное уравнение имеет два корня

Найдем корни уравнения:

    \[x = \frac{ -b \pm \sqrt{D} }{2a }\]

    \[ x_1 = \frac{ -(-3) + \sqrt{49} }{2 * 1}\]

    \[ x_1 = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2}\]

    \[ x_1 = 5 \]

    \[ x_2 = \frac{ -(-3) - 7 }{2 * 1}\]

    \[ x_2 = \frac{-4}{2}\]

    \[ x_2 = -2 \]

Корнями данного уравнения являются -2; 5

Ответ:

-2; 5


  1. Расстояние между пристанями A и B равно 140 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в пункт A. К этому времени плот прошёл 51 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.
Решение

По условию задачи плот прошёл 51 км. Его скорость равна скорости течения, следовательно время, затраченное на путь составило:

51 : 3 = 17 (ч)

Лодка вышла на 1 час позже плота, следовательно лодка затратила на весь путь от пристани А до В и обратно:

17 — 1 = 16 (ч)

Пусть х — скорость лодки в неподвижной воде

Тогда х + 3 = скорость лодки по течению

Тогда х — 3 = скорость лодки против течения

Зная скорость лодки в обоих направлениях и общее расстояние, получаем следующее равенство:

    \[ \frac{140}{x + 3} + \frac{140}{x - 3} = 16 \]

    \[ \frac{140 * (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{140 * (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)} = 16 \]

    \[ \frac{140x - 420}{x^2 - 9} + \frac{140x + 420}{x^2 - 9} = 16 \]

    \[ \frac{140x - 420 + 140x + 420}{x^2 - 9} = 16 \]

    \[ \frac{280x }{x^2 - 9} = 16 \]

    \[ 280x = 16 * (x^2 - 9) \]

    \[ 280x = 16x^2 - 144 \]

Получаем квадратное уравнение

    \[ 16x^2 - 280x - 144 = 0 \]

Выполним сокращение, разделив каждый член уравнения на 8

    \[ 2x^2 - 35x - 18 = 0 \]

Решим уравнение

Найдем дескриминант

a=2,  b=-35,  c=-18

D = b2 — 4ac = (-35)2 — 4*2*(-18) = 1225 + 144 = 1369

Дискриминант положительный — данное уравнение имеет два корня

Найдем корни уравнения:

    \[x = \frac{ -b \pm \sqrt{D} }{2a }\]

    \[ x_1 = \frac{ -(-35) + \sqrt{1369} }{2 * 2} = \frac{35 + 37}{4} = \frac{72}{4} = 18\]

    \[ x_2 = \frac{ -(-35) - \sqrt{1369} }{2 * 2} = \frac{35 - 37}{4} = \frac{-2}{4} = -0,5\]

Скорость лодки в неподвижной воде составляет 18 км/ч

Ответ:

18 км/ч


  1. Постройте график функции y = |x| (x — 1) — 5x

и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение

y = |x| (x — 1) — 5x

Заданная функция имеет модуль, поэтому разложим данную функцию на две подфункции, в зависимости от значения модуля:

  • y = x (x — 1) — 5x = x2 — x — 5x = x2 — 6x
  • y = (-x) (x — 1) — 5x = -x2 + x — 5x = -x2 — 4x

Построим графики всех функций

OGE-mat-9-klass-2019-38var-9-variant-11

На графике видно, что обе функции являются параболами, ветви которых направлены: у первой вверх (поскольку коэффициент «а» больше нуля), у второй вниз (поскольку коэффициент «а» меньше нуля).

Первая функция представлена на графике синим цветом, а вторая функция — зелёным.

График функции y = |x| (x — 1) — 5x отображён красным пунктиром.

На графике хорошо видно, что функция y=m будет иметь две общие точки с функцией y = |x| (x — 1) — 5x только в вершинах парабол.

1) Найдем вершину параболы, представленной функцией y = x2 — 6x

x0 = -b/2a = -(-6)/2 = 3

y0 = x2 — 6x = y = 32 — 6*3 = 9 — 18 = -9

2) Найдем вершину параболы, представленной функцией y = -x2 — 4x

x0 = -b/2a = -(-4)/2*(-1) = 4/-2 = -2

y0 = -x2 — 4x = -(-2)2 — 4*(-2) = -4 + 8 = 4

y=m имеет с графиком ровно две общие точки в точках: -9; 4

Ответ:

-9; 4


  1. Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если  AF = 24, BF = 32.
Решение

Выполним чертёж, согласно заданного условия:

OGE-mat-9-klass-2019-38var-9-variant-12

Дано:

AF = 24
BF = 32

Определение: Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под прямым углом.

Следовательно, BF ⊥ AF, а значит треугольник ∆ABF прямоугольный.

По условию задачи нам известны длина обоих катетов прямоугольного треугольника ∆ABF. Используя теорему Пифагора, найдем длину гипотенузы AB:

    \[ AB^2 = AF^2 + BF^2 = 24^2 + 32^2 = 576 + 1024 = 1600 \]

    \[ AB = \sqrt{1600} = 40 \]

Длина стороны AB = 40

Ответ:

AB = 40


  1. Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке E, лежащей на стороне BC. Докажите, что точка E — середина BC.
Решение

Выполним чертёж, согласно заданного условия и введём обозначения:

OGE-mat-9-klass-2019-38var-9-variant-13

По определению параллелограмма, его противоположные стороны параллельны и равны

AB || CD и AB = CD

BC || AD и BC = AD

По условию задачи AE — это биссектриса, следовательно углы ∠BAE и ∠EAD равны

∠BAE = ∠EAD

По условию задачи DE — это биссектриса, следовательно углы ∠ADE и ∠CDE равны

∠ADE = ∠CDE

Углы ∠BEA и ∠EAD равны, как накрест лежащие, образованные параллельными прямыми BC и AC и секуще AE.

Следовательно

∠BEA = ∠EAD = ∠BAE

Рассмотрим треугольник ∆BAE

Известно, что треугольник, у которого два угла (∠BEA и ∠BAE) при основании (AE) равны, называется равнобедренным. У равнобедренного треугольника боковые стороны равны:

AB = BE

Рассмотрим треугольник ∆BAE

Углы ∠CED и ∠ADE равны, как накрест лежащие, образованные параллельными прямыми BC и AC и секуще DE.

Следовательно

∠CED = ∠ADE = ∠CDE

Данный треугольник также является равнобедренным, поскольку его углы ∠CED и ∠CDE равны. У равнобедренного треугольника боковые стороны равны:

EC = CD

Так как по определению параллелограмма его противоположные стороны равны, то имеем

AB = CD = BE = EC

Следовательно точка E является серединой стороны BC и делит его на два разных отрезка:

BE = EC

Утверждение доказано.


  1. В треугольнике ABC известны длины сторон AB = 18, AC = 36, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.
Решение

Выполним чертёж согласно условия:

OGE-mat-9-klass-2019-14var-8-variant-15

Дано:

AB = 18
AC = 36
BD ⊥ AO

Прямая AO (AE) проходит через центр круга и является диаметром, значит треугольники ∆ABE и ∆AEC являются прямоугольными (по свойству вписанного треугольника). Следовательно углы ∠ECA и ∠ABE — прямые.

Рассмотрим треугольники ∆AEB и ∆ABF.

Данные треугольники прямоугольные и имеют общий угол ∠BAE. Следовательно эти треугольники подобны, а их стороны пропорциональны:

    \[ \frac{AE}{AB} = \frac{AB}{AF} \]

    \[ AB^2 = AE * AF \]

Рассмотрим треугольники ∆AEC и ∆AFD.

Данные треугольники прямоугольные и имеют общий угол ∠FAD. Следовательно эти треугольники подобны, а их стороны пропорциональны:

    \[ \frac{AE}{AD} = \frac{AC}{AF} \]

    \[ AD = AE \frac{AF}{AC} \]

Итак, мы имеем две формулы:

    \[ AB^2 = AE * AF \]

и

    \[ AD = AE \frac{AF}{AC} \]

Подставим во вторую формулу значение произведения AE * AF из первой формулы. Получим

    \[ AD = \frac{AB^2}{AC} \]

Подставим значение отрезков из условия:

    \[ AD = \frac{AB^2}{AC} = \frac{18^2}{36} =  \frac{324}{36} = 9 \]

Получаем

CD = AC — AD = 36 — 9 = 27

Длина отрезка CD равна 27

Ответ:

27

Похожие посты