Меню Закрыть

ОГЭ по математике 2019. ТТЗ Ященко. 14 вариантов. Вариант 8

ОГЭ по математике 9 класс 2019 года под редакцией И. В. Ященко (14 вариантов) — Вариант 8

При написании данной работы «ОГЭ по математике 2019. ТТЗ Ященко. 14 вариантов. Вариант 8» было использовано пособие «ОГЭ 2019. Математика. 14 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ОГЭ  И. Р. Высоцкий, Л. О. Рослова, Л. В. Кузнецова, В. А. Смирнов, А. В. Хачатурян, С. А. Шестаков, Р. К. Гордин, А. С. Трепалин, А. В. Семенов, П. И. Захаров; под редакцией И. В. Ященко. — М.: Издательство «Экзамен», МЦНМО, 2019″.

Часть 1

Модуль «Алгебра»


  1. Найдите значение выражения

    \[ \frac{0,3 * 7,5}{0,5} \]

Решение

    \[ \frac{0,3 * 7,5}{0,5} = 0,3 * 15 = 4,5 \]

Ответ:

4,5


  1. Расстояние от Венеры до Солнца равно 108,2 млн км. В каком случае записана эта же величина?
  1. 1,082 * 109 км
  2. 1,082 * 108 км
  3. 1,082 * 107 км
  4. 1,082 * 106 км
Решение

1 млн км = 1 000 000 км = 106

Расстояние от Венеры до Солнца равно 108,2 * 106 км

Однако, знак запятой передвинут на две позиции влево

108,2 = 1,082 * 100 = 1,082 * 102

108,2 * 106 = 1,082 * 102  * 106 =1,082 * 108

Что соответсвует ответу 2

Ответ:

2


  1. На координатной прямой отмечены числа x и y.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-8-variant-01

Какое из приведённых утверждений для этих чисел неверно?

  1. xy < 0
  2. x2y > 0
  3. x + y < 0
  4. x — y > 0
Решение

Из графика видно, что x — это отрицательное число, а y — положительное. Причем, x находится значительно дальше от нуля, чем y.

1) умножение отрицательного числа на положительное даёт отрицательное число.

утверждение xy < 0 верное

2) квадрат отрицательного числа всегда даёт положительное число.

утверждение x2y > 0  верное

3) так как x находится гораздо дальше от нуля, чем y, то результатом их суммы будет отрицательное число.

утверждение x + y < 0  верное

4) разницей x и y будет отрицательное число

утверждение x — y > 0  неверное

Ответ:

4


  1. Найдите значение выражения

    \[ \frac{9^{-3} * 9^{-6}}{9^{-11}} \]

Решение

Определение: При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, основание остается неизменным.

Определение: При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели отнимаются, а основание остается неизменным.

    \[ \frac{9^{-3} * 9^{-6}}{9^{-11}} = \frac{9^{-3 + (-6)}}{9^{-11}} = \frac{9^{-9}}{9^{-11}} = 9^{-9-(-11)}  = 9^{-9+11}  = 9^{2} =81 \]

Ответ:

81


  1. На графике показана зависимость температуры двигателя от времени в процессе разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от момента запуска двигателя, на оси ординат — температура в градусах. Определите по графику на сколько градусов Цельсия нагреется двигатель за первые пять минут работы.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-8-variant-02

Решение

Найдем на оси абсцисс значение времени равное 5 минутам и проведём от него вертикальную линию до точки пересечения с графиком. Затем от точки пересечения проведём горизонтальную до оси ординат.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-8-variant-03

Через 5 минут двигатель нагреется до температуры 60°

Первоначальная температура была 10° — значение температуры на нулевой отметке.

60 — 10 = 50°

За первые 5 минут двигатель нагреется на 50 градусов

Ответ:

50°


  1. Решите уравнение

    \[ -\frac{4}{7}x^2 + 28 = 0 \]

Решение

    \[ -\frac{4}{7}x^2 + 28 = 0 \]

    \[ -\frac{4}{7}x^2 = 28 \]

    \[ x^2 = 28 : \frac{4}{7} = 28 * (-\frac{7}{4}) = 7 * (-7) = -49 \]

    \[ x = √49 = 7 \]

Так как квадрат отрицательного числа всегда в результате даёт положительное число, то решением данного уравнения могут быть: -7 и 7

Наибольший корень : 7

Ответ:

7


  1. Принтер печатает одну страницу за 5 секунд. Сколько страниц можно напечатать за 6,5 минуты?
Решение

Переведём минуты в секунды

6,5 мин = 6,5 * 60 = 390 с

390 : 5 = 78 (стр) — можно напечатать страниц за 6,5 минут

Ответ:

78


  1. На диаграмме показано содержание питательных веществ в сливочных сухарях. Определите по диаграмме, содержание каких веществ превосходит 25%.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-8-variant-04

*к прочему относятся вода, витамины и минеральные вещества

  1. жиры
  2. белки
  3. углеводы
  4. прочее
Решение

Если круг — это 100%, то 25% — это четверть круга.

На диаграмме хорошо видно, что более четверти круга занимают два вида питательных веществ:

  • жиры
  • углеводы

Ответ:

1, 3


  1. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,19. Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.
Решение

Существует два возможных события:

  • шариковая ручка пишет хорошо
  • шариковая ручка пишет плохо

Известно, что сумма всех вероятных событий равна — 1

Тогда вероятность того, что купленная ручка пишет хорошо будет равна:

1 — 0,19 = 0,81

Ответ:

0,81


  1. На рисунке изображены графики функций y = ax2 + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Формулы:

А) a < 0, c > 0

Б) a > 0, c > 0

В) a > 0, c < 0

Графики:

OGE-mat-9-klass-2019-14var-8-variant-05 OGE-mat-9-klass-2019-14var-8-variant-06

В таблице под каждой буквой укажите соответсвующий номер.

Решение

Графиком квадратного уравнения является парабола.

Если коэффициент «а» положительный, то ветви параболы направлены вверх, а если отрицательный — вниз.

Коэффициент «с»  — это точка пересечения параболы с осью y.

А) a < 0, c > 0

a < 0 — ветви параболы направлены вниз

c > 0 — точка пересечения параболы с осью y положительная (находится выше оси х)

Соответсвует графику 1

Б) a > 0, c > 0

a > 0 — ветви параболы направлены вверх

c > 0 — точка пересечения параболы с осью y положительная (находится выше оси х)

Соответсвует графику 3

В) a > 0, c < 0

a > 0 — ветви параболы направлены вверх

c < 0 — точка пересечения параболы с осью y отрицательная (находится ниже оси х)

Соответсвует графику 2

Ответ:

А — 1 ; Б — 3 ; В — 2


  1. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии: …; -10; x; -14; -16; …

Найдите x

Решение

Найдём разность арифметической прогрессии по двум последовательным значениям прогрессии:

d = -16 — (-14) = -16 + 14 = -2

Отсюда

-10 + (-2) = -10 — 2 = -12

Ответ:

-12


  1. Найдите значение выражения

    \[ \frac{1}{7x} - \frac{7x + 5y}{35xy}\]

при

    \[ x = \sqrt{29}, y = \frac{1}{2} \]

Решение

Выполним преобразование дроби:

    \[ \frac{1}{7x} - \frac{7x + 5y}{35xy} = \frac{5y}{35xy} - \frac{7x + 5y}{35xy} = \frac{5y - (7x + 5y) }{35xy} = \]

    \[ =\frac{5y - 7x - 5y }{35xy} = \frac{-7x }{35xy} = \frac{-1}{5y} \]

подставим значение y в полученную формулу

    \[ -\frac{1}{5y} = -\frac{1}{5* \frac{1}{2}} = -\frac{1}{5 * 0,5} = -\frac{1}{2,5} = -0,4 \]

Ответ:

-0,4


  1. Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле

    \[ S = \frac{d_1 d_2 * sin a}{2} \]

где d1 и d2 — длины диагоналей четырёхугольника, a — угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d2, если d1 = 10, sin a = 1/11, S = 5.

Решение

Исходная формула

    \[ S = \frac{d_1 d_2 * sin a}{2} \]

Отсюда d2 будет равно

    \[ d_2 = \frac{S * 2}{d_1 * sin a} \]

По условию задачи известно:

d1 = 10
sin a = 1/11
S = 5

Подставим значения в формулу:

    \[ d_2 = \frac{S * 2}{d_1 * sin a} = \frac{2 * 5}{10 * \frac{1}{11}} = \frac{10}{\frac{10}{11}} = \frac{10 * 11}{10} = 11 \]

Длина диагонали d2 = 11

Ответ:

11


  1. Укажите решение неравенства 6x -3 (4x + 1) > 6
  1. (-1,5; +∞)
  2. (-∞; -1,5)
  3. (-∞; -0,5)
  4. (-0,5; +∞)
Решение

Решим неравенство.

6x -3 (4x + 1) > 6

6x -12x — 3 > 6

-6x > 6 + 3

-x > 9/6

x < -3/2

x < -1,5

Данному решению удовлетворяет ответ под номером 2

Ответ:

(-∞; -1,5)


Модуль «Геометрия»


  1. Наклонная крыша установлена на трёх вертикальных опорах, основания которых расположены на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см. рис.). Высота малой опоры 1,7 м, высота средней опоры 2,1 м. Найдите высоту большей опоры. Ответ дайте в метрах.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-8-variant-07

Решение

Так как опоры стоят на одинаковом расстоянии друг от друга, то высота их увеличивается с определённым шагом. Найдём величину этого шага:

2,1 — 1,7 = 0,4 (м) — перепад высот между первой и средней колонами

2,1 + 0,4 = 2,5 (м) — высота третьей колоны

Ответ:

2,5


  1. Катеты прямоугольного треугольника равны 60 и 80. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Решение

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов.

c2 = a2 + b2

c2 = 602 + 802

c2 = 3600 + 6400

c2 = 3600 + 6400 = 10000

c =√10000 = 100

Гипотенуза данного треугольника равна 100

Ответ:

100


  1. Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Найдите угол ACB, если угол AOB равен 73°.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-8-variant-08

Решение

Определение: Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным. Величина вписанного угла равна половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Угол AOB является центральным углом.

Угол ACB является вписанным углом.

Оба угла опираются на одну дугу AB.

Следовательно:

73 : 2 = 36,5° — величина угла AOB

Ответ:

36,5°


  1. Найдите величину острого угла параллелограмма ABCD, если биссектриса угла А образует со стороной BC угол, равный 41°. Ответ дайте в градусах.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-8-variant-09

Решение

Обозначим точку пересечения биссектрисы со стороной BC через N

OGE-mat-9-klass-2019-14var-8-variant-10

Углы ∠BNA и ∠NAD равны, как углы при параллельных прямых (BC и AD) и секущей (AN)

∠BNA = ∠NAD = 41°

Определение: Биссектриса делит угол пополам.

Отсюда

∠ABD = ∠BAN + ∠NAD = NAD * 2 = 41° * 2 = 82°

Величина острого угла параллелограмма ABCD равна 82°

Ответ:

82°


  1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображен параллелограмм. Найдите его площадь.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-8-variant-11

Решение

Площадь параллелограмма равна произведению длины его основания на высоту

Основание = 5 клеток

Высота = 4 клетки

S = 5 * 4 = 20

Площадь параллелограмма равна 20

Ответ:

20


  1. Какие из следующих утверждений верны?
  1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме катетов.
  2. Всегда один из двух смежных углов — острый, а другой тупой.
  3. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной.

В ответ запишите номера выбранных утверждений.

Решение

Данное задание не является задачей. Вопросы, перечисленные здесь необходимо знать наизусть и уметь на них отвечать.

  1. Неверно — В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равна сумме квадратов катетов.
  2. Неверно — Есть вариант, когда оба смежных угла прямые.
  3. Верно — Данное утверждение верно.

Ответ:

3


Часть 2

Модуль «Алгебра»


  1. Сократите дробь

    \[ \frac{50^n}{5^{2n-1} * 2^{n-1}} \]

Решение

Определение: При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, основание остается неизменным.

Определение: При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели отнимаются, а основание остается неизменным.

Выполним преобразование дроби

    \[ \frac{50^n}{5^{2n-1} * 2^{n-1}} = \frac{50^n}{5^n * 5^{n-1} * 2^{n-1}} = \frac{50^n}{5^n * (5 * 2 )^{n-1} } = \frac{50^n}{5^n * 10^{n-1} } = \]

    \[ = \frac{50^n}{5^n} * \frac{1}{10^{n-1} } = (50 : 5)^n * \frac{1}{10^{n-1} } = 10^n * \frac{1}{10^{n-1} } = \frac{10^n}{10^{n-1} } = \]

    \[ = 10^{n - (n-1) } = 10^{n - n + 1 } = 10^1 = 10 \]

Ответ:

10


  1. Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 60 км/ч, а вторую — со скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
Решение

(90 + 60) : 2 = 150 : 2 = 75 (км/ч) — средняя скорость автомобиля на всем пути

Ответ:

75

Определение: Средняя скорость равна отношению расстояния к затраченному времени на преодоление данного расстояния.

    \[ v = \frac{S}{t} \]

По условию задачи дано

v1 = 60 км/ч
v2 = 90 км/ч
S — длина всего пути в км

Половина пути равна = S/2

Время потраченное на первую половину пути:

    \[ t_1 = \frac{\frac{S}{2}}{v_1} = \frac{\frac{S}{2}}{60} = \frac{S}{2 * 60} = \frac{S}{120} \]

Время потраченное на вторую половину пути:

    \[ t_2 = \frac{\frac{S}{2}}{v_2} = \frac{\frac{S}{2}}{90} = \frac{S}{2 * 90} = \frac{S}{180} \]

Средняя скорость автомобиля будет равна:

    \[ v = \frac{S}{t} = \frac{S}{t_1 + t_2} = \frac{S}{\frac{S}{120} + \frac{S}{180}} = \frac{S}{S * (\frac{1}{120} + \frac{1}{180})} = \]

    \[ = \frac{1}{\frac{1}{120} + \frac{1}{180}} = \frac{1}{\frac{3}{360} + \frac{2}{360}} = \frac{1}{\frac{5}{360}} = \]

    \[ = \frac{360}{5} = 72 \]

Средняя скорость автомобиля будет равна 72 км/ч

Ответ:

72 км/ч


  1. Постройте график функции

    \[ y = x^2 - | 2x + 1| \]

и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение

y = x2 — | 2x + 1|

Заданная функция имеет модуль, поэтому разложим данную функцию на две подфункции, в зависимости от значения модуля:

  • y = x2 — 2x — 1
  • y = x2 + 2x + 1

Построим графики всех функций

OGE-mat-9-klass-2019-14var-8-variant-12

На графике видно, что обе функции являются параболами, ветви которых направлены вверх (поскольку коэффициент «а» больше нуля).

Первая функция представлена на графике зелёным цветом, а вторая функция — синим.

График функции y = x2 — | 2x + 1| отображён красным пунктиром.

На графике хорошо видно, что между вершинами обеих парабол функция y=m будет иметь от одного до двух пересечений.

Выше вершины параболы, представленной функцией y = x2 + 2x + 1, прямая y=m будет иметь три точки пересечения до точки пересечения двух графиков.

1) Найдём точку пересечения двух графиков — для этого приравняем обе функции.

x2 + 2x + 1 = x2 — 2x — 1

x2 — x2 + 2x + 2x = — 1 — 1

4x = — 2

x = -0,5

y = x2 + 2x + 1 = (-0,5)2 + 2 * (-0,5) + 1 = 0,25 — 1 + 1 = 0,25

2) найдем вершину параболы, представленной функцией y = x2 + 2x + 1

x0 = -b/2a = -2/2 = -1

y0 = y = x2 + 2x + 1 = (-1)2 + 2 (-1) +1 = 1 — 2 +1 = 0

y=m имеет с графиком ровно три точки в интервале: 0; 0,25

Ответ:

0; 0,25


  1. Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 18, а расстояние от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 12 и 9.
Решение

Выполним чертёж, согласно заданного условия:

OGE-mat-9-klass-2019-14var-8-variant-13

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆OMB.

Из условия известно:

AB = 18
MB = AB : 2 = 18 : 2 = 9
OM = 12

Треугольник ∆OMB прямоугольный. Так как нам известна длина обоих катетов, найдем длину гипотенузы по теореме Пифагора:

c2 = a2 + b2 = MB2 + OM2 = 92 + 122 = 81 + 144 = 225

c =√225 = 15

OB = 15

Так как OB — это радиус круга, то все отрезки OD = OC = OA = 15

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆NOD.

Из условия известно:

ON = 9
OD = 15

Треугольник ∆NOD прямоугольный. Так как нам известна длина одного катета и гипотенузы, найдем длину второго катета по теореме Пифагора:

c2 = a2 + b2

a2 = c2 — b2

ND2 = OD2 — ON2 = 152 — 92 = 225 — 81 = 144

c =√144 = 12

ND = 12

Следовательно

CD = ND * 2 = 12 * 2 = 24

Длина отрезка CD равна 24

Ответ:

24


  1. Биссектрисы углов A и D трапеции ABCD пересекаются в точке  M, лежащей на стороне BC. Докажите, что точка M равноудалена от прямых AB, AD и CD.
Решение

Выполним чертёж, согласно заданного условия и введём обозначения для удобства:

OGE-mat-9-klass-2019-14var-8-variant-14

Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую.

Следовательно, чтобы доказать, что точка M равноудалена от прямых AB, AD и CD , требуется доказать равенство перпендикуляров, проведённых из точки M к прямым, содержащим стороны трапеции AB, AD и CD.

AB ⊥ FM
AD ⊥ MK
CD ⊥ ME

1) Рассмотрим треугольники ∆AMK и ∆AMF.

∠AKM=90º, ∠AFM=90º (по условию задачи).

Так как угол ∠BAK разделён биссектрисой (по условию), то углы ∠MAK и ∠FAM равны.

Гипотенуза AM у обоих треугольников общая.

Следовательно прямоугольные треугольники ∆AMK и ∆AMF равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: MK = MF.

2) Аналогичное заключаем из равенства треугольников ∆KMD и ∆MCD, т.е. стороны MK = ME.

Отсюда получаем, что

MF = MK = ME

Утверждение доказано.


  1. В треугольнике ABC известны длины сторон AB = 60, AC = 80, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.
Решение

Выполним чертёж согласно условия:

OGE-mat-9-klass-2019-14var-8-variant-15

Дано:

AB = 60
AC = 80
BD ⊥ AO

Прямая AO (AE) проходит через центр круга и является диаметром, значит треугольники ∆ABE и ∆AEC являются прямоугольными (по свойству вписанного треугольника). Следовательно углы ∠ECA и ∠ABE — прямые.

Рассмотрим треугольники ∆AEB и ∆ABF.

Данные треугольники прямоугольные и имеют общий угол ∠BAE. Следовательно эти треугольники подобны, а их стороны пропорциональны:

    \[ \frac{AE}{AB} = \frac{AB}{AF} \]

    \[ AB^2 = AE * AF \]

Рассмотрим треугольники ∆AEC и ∆AFD.

Данные треугольники прямоугольные и имеют общий угол ∠FAD. Следовательно эти треугольники подобны, а их стороны пропорциональны:

    \[ \frac{AE}{AD} = \frac{AC}{AF} \]

    \[ AD = AE \frac{AF}{AC} \]

Итак, мы имеем две формулы:

    \[ AB^2 = AE * AF \]

и

    \[ AD = AE \frac{AF}{AC} \]

Подставим во вторую формулу значение произведения AE * AF из первой формулы. Получим

    \[ AD = \frac{AB^2}{AC} \]

Подставим значение отрезков из условия:

    \[ AD = \frac{AB^2}{AC} = \frac{60^2}{80} =  \frac{3600}{80} = 45 \]

Получаем

CD = AC — AD = 80 — 45 = 35

Длина отрезка CD равна 35

Ответ:

35

Похожие посты