ОГЭ по математике 2019. ТТЗ Ященко. Вариант 7 с решением

ОГЭ по математике 9 класс 2019 года под редакцией И. В. Ященко (14 вариантов) – Вариант 7

При написании данной работы “ОГЭ по математике 2019. ТТЗ Ященко. 14 вариантов. Вариант 7” было использовано пособие “ОГЭ 2019. Математика. 14 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ОГЭ И. Р. Высоцкий, Л. О. Рослова, Л. В. Кузнецова, В. А. Смирнов, А. В. Хачатурян, С. А. Шестаков, Р. К. Гордин, А. С. Трепалин, А. В. Семенов, П. И. Захаров; под редакцией И. В. Ященко. – М.: Издательство “Экзамен”, МЦНМО, 2019″.

Часть 1

Модуль “Алгебра”

Найдите значение выражения

$(\frac{1}{30} + \frac{3}{20}) * 6$

Решение

$(\frac{1}{30} + \frac{3}{20}) * 6 = \frac{1}{30} * 6 + \frac{3}{20} * 6 = \frac{1}{5} + \frac{18}{20} =$

$= \frac{1}{5} + \frac{9}{10} = \frac{1 * 2}{5 * 2} + \frac{9}{10} = \frac{2 + 9}{10} = \frac{11}{10} = 1,1$

Ответ:

1,1

На рулоне обоев написано, что длина полотна равна 10 м ±1,2%. Какую длину не может иметь полотно?

9 м 95 см
10 м 4 см
10 м 93 см
10 м 11 см

Решение

Найдём чему равно 1,2% от 10 м

10 : 100 * 1,2 = 0,12 (м)

Определим допустимое отклонение указанной длины – ±1,2%

10 – 0,12 = 9,86 = 9 м 86 см

10 + 0,12 = 10,12 = 10 м 12 см

Длина рулона может колебаться от 9,86 м до 10,12

Из предложенных вариантов полотно не может иметь длину 10 м 93 см – ответ 3

Ответ:

На координатной прямой отмечены числа x, y и z.

Какая из разностей z-x, x-y, z-y положительна

z-x
x-y
z-x
ни одна из них

Решение

Разность z-x – отрицательная, поскольку z<x

Разность x-y – положительная, поскольку x>y

Разность z-x – отрицательная, поскольку z<x

Ответ:

Найдите значение выражения

$5\sqrt{13} * 2\sqrt{3} * \sqrt{39}$

Решение

$5\sqrt{13} * 2\sqrt{3} * \sqrt{39} = \sqrt{25} * \sqrt{13} * \sqrt{4} * \sqrt{3} * \sqrt{39} = \sqrt{25*13*4*3*39} =$

$= \sqrt{152100} = 390$

Ответ:

390

На графике жирными точками показан курс доллара, установленный Центробанком РФ на все рабочие дни с 3 по 31 июля 2017 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали – цена доллара в рублях. Для наглядности точки соединены линиями. Определите, какого числа курс доллара был наименьшим за указанный период.

Решение

Проведём от минимального значения графика линию к горизонтальной оси.

Минимальный курс доллара был 21 июля

Ответ:

Найдите корень уравнения

$\frac{4}{x - 4} = -5$

Решение

$\frac{4}{x - 4} = -5$

$4 = -5 * (x - 4)$

$4 = 20 - 5x$

$5x = 20 - 4 = 16$

$x = 16 : 5 = 3,2$

Ответ:

3,2

Вкладчик открыл счёт в банке и положил на него 13000 рублей на год без возможности пополнения счёта и снятия денег. По условиям вклада ровно через год банк начисляет 11% годовых. Какая сумма будет в этом счёте через год после открытия?

Решение

13000 – это 100%

x – 11%

x = 13000 : 100 * 11 = 1430 (руб) – 11% от общей суммы вклада

13000 + 1430 = 14430 – получит вкладчик в конце года

Ответ:

14430

На диаграмме показаны площади семи крупнейших озёр мира. Данные округлены до десятых.

Какие из следующих утверждений верны?

Озеро Мичиган – крупнейшее в мире по площади.
Озеро Байкал входит в шестёрку крупнейших по площади озёр мира.
Площадь озера Гурон больше площади озера Танганьика примерно на 26,7 тыс.км²
Площадь Каспийского моря больше площади озера Верхнее более, чем вчетверо.

Решение

Перечислим озёра в порядке убывания их площади:

Каспийское море
Верхнее
Виктория
Гурон
Мичиган
Танганьика
Байкал

Проверим каждое утверждение

1) Озеро Мичиган – крупнейшее в мире по площади.

Данное утверждение неверно. Крупнейшее в списке – Каспийское море.

2) Озеро Байкал входит в шестёрку крупнейших по площади озёр мира.

Данное утверждение неверно. Озеро Байкал стоит на 7 месте.

3) Площадь озера Гурон больше площади озера Танганьика примерно на 26,7 тыс.км²

59,6 – 32,9 = 26,7

Данное утверждение верно.

4) Площадь Каспийского моря больше площади озера Верхнее более, чем вчетверо.

371,0 : 82,4 = 4,5

Данное утверждение верно.

Ответ:

3, 4

Люся, Марат, Вадик и Зоя бросили жребий – кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должна будет девочка.

Решение

Количество детей – 4 человек

Количество девочек – 2 человека

2 : 4 = 0,5

Вероятность того, что начинать игру должна будет девочка равна 0,5.

Ответ:

0,5

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Формулы:

$y = -x$

$y = -1$

$y = x - 1$

Графики:

В таблице под каждой буквой укажите соответсвующий номер.

Решение

Графику А соответсвует функция 3, поскольку функция представлена прямой. Выполним проверку: a) при х = 0, y = x – 1 = -1; б) при х = 1, y = x – 1 = 1 – 1 = 0
Графику Б соответсвует функция 1, поскольку функция представлена прямой. Выполним проверку: a) при х = 0, y = -x = 0; б) при х = 2, y = -x = -2
Графику В соответсвует функция 2, поскольку функция представлена постоянной величиной -1

Ответ:

А – 3 ; Б – 1 ; В – 2

Последовательность (b_n) задана условиями:

$b_1 = 9, b_{n+1} = -3\frac{1}{b_n}$

при n > 1

Найдите b₅

Решение

Воспользовавшись данной формулой

$b_{n+1} = -2\frac{1}{b_n}$

найдем второй член b₂ данной последовательности

$b_2 = -3\frac{1}{b_n} = -3\frac{1}{b_1} = -3\frac{1}{9} = -\frac{1}{3}$

Найдем третий член b₃ данной последовательности

$b_3 = -3\frac{1}{b_n} = -3\frac{1}{b_2} = -3\frac{1}{-\frac{1}{3}} = 9$

Найдем четвёртый член b₄ данной последовательности

$b_4 = -3\frac{1}{b_n} = -3\frac{1}{b_3} = -3\frac{1}{9} = -\frac{1}{3}$

Найдем пятый член b₅ данной последовательности

$b_5 = -3\frac{1}{b_n} = -3\frac{1}{b_4} = -3\frac{1}{-\frac{1}{3}} = 9$

Ответ:

Найдите значение выражения

$\frac{ab}{a + b} * (\frac{a}{b} - \frac{b}{a})$

при

$a = \sqrt{6} + 6, b = \sqrt{6} - 8$

Решение

Выполним преобразование дроби:

$\frac{ab}{a + b} * (\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) = \frac{ab}{a + b} * (\frac{a * a}{b * a} - \frac{b * b}{a * b}) =$

$=\frac{ab}{a + b} * (\frac{a^2}{ab} - \frac{b^2}{ab}) = \frac{ab}{a + b} * \frac{a^2}{ab} - \frac{ab}{a + b} * \frac{b^2}{ab} =$

$= \frac{a^2}{a + b} - \frac{b^2}{a + b} = \frac{a^2 - b^2}{a + b} = \frac{(a + b)(a - b)}{a + b} = a - b$

Подставим значения a и b в полученное выражение:

$a - b = (\sqrt{6} + 6) - ( \sqrt{6} - 8 ) = \sqrt{6} + 6 - \sqrt{6} + 8 = 14$

Ответ:

Закон Кулона описывает взаимодействие между двумя электрическими зарядами. Закон можно записать в виде

$F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$

где F – сила взаимодействия в ньютонах, q₁ и q₂ – величины зарядов в кулонах, k – коэффициент пропорциональности в Hм² / Кл², а r – расстояние между зарядами в метрах. Пользуясь формулой, найдите величину заряда q₁ (в кулонах), если k = 9 * 10⁹ Hм² / Кл², q₂ = 0,0008 Кл, r = 3000 м, F = 0,0004 H.

Решение

Исходная формула

$F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$

Отсюда q₁ будет равно

$q_1 = \frac{F * r^2}{k * q_2}$

По условию задачи известно:

k = 9 * 10⁹ Hм² / Кл²q₂ = 0,0008 Кл
r = 3000 м
F = 0,0004 H

Подставим значения в формулу:

$q_1 = \frac{F * r^2}{k * q_2} = \frac{0,0004 * 3000^2}{9*10^9 * 0,0008} = \frac{3600}{7200000} = 0,0005$

Величина заряда q₁ = 0,0005 Кл

Ответ:

0,0005

Укажите решение неравенства x² ≤ 64

Решение

Решим неравенство.

x² ≤ 64

x ≤ √64

x ≤ 8

Так как x указан в уравнении в квадрате, то он может принимать как положительные, так и отрицательные значения: x ≤ 8; x ≥ -8

Данному решению удовлетворяет график под номером 4

Ответ:
4

Модуль “Геометрия”

Колесо имеет 8 спиц. Углы между соседними спицами одинаковы. Найдите угол, который образуют две соседние спицы. Ответ дайте в градусах.

Решение

Известно, что колесо – это круг, составляющий 360°

По условию задачи, в колесе 8 спиц, а значит круг разбит на 8 равных углов

360 : 8 = 45° – величина угла, образованная двумя соседними спицами

Ответ:

Косинус острого угла A треугольника ABC равен 4/5. Найдите sin A.

Решение

Одно из основных тригонометрических тождеств:

$sin^2α + cos^2α = 1$

Отсюда

$sin^2α = 1 - cos^2α$

$sin^2α = 1 - (\frac{4}{5})^2$

$sin^2α =1 - \frac{16}{25} = \frac{25}{25} - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

$sin α = \sqrt{\frac{9}{25}}$

$sin α = \frac{3}{5}$

$sin α = 0,6$

Ответ:

sin A = 0,6

Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 10. Найдите BC, если AC =16.

Решение

Определение: Если центр описанной около треугольника окружности лежит на стороне треугольника, то этот треугольник — прямоугольный.

Значит треугольник ∆ABC – прямоугольный, а угол ∠ACB = 90°

По условию задачи

R = 10
AC = 16

Тогда

AB = 2R = 10 * 2 = 20

Воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения третий сторона AC

$a^2 + b^2 = c^2$

$AC^2 + BC^2 = AB^2$

Отсюда

$BC^2 = AB^2 - AC^2 = 20^2 - 16^2 = 400 - 256 = 144$

$BC = \sqrt{144} = 12$

Длина большой BC = 12

Ответ:

В ромбе ABCD угол ABC равен 72°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Решение

Определение: Два угла в ромбе, прилегающие к одной стороне в сумме дают 180°

∠ABC + ∠BCD = 180°

∠BCD = 180° – ∠ABC = 180° – 72° = 108°

Определение: Одна из диагоналей делит содержащие её углы пополам.

То есть

∠BCA = ∠ACD = ∠BCD : 2 = 108 : 2 = 54°

Ответ:

∠ACD = 17°

На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена фигура. Найдите её площадь.

Решение

Площадь данной фигуры равна сумме всех клеток = 9

Площадь фигуры равна 9

Ответ:

Какие из следующих утверждений верны?

Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.
Площадь трапеции равна произведению основания трапеции на высоту.
Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.

В ответ запишите номера выбранных утверждений.

Решение

Данное задание не является задачей. Вопросы, перечисленные здесь необходимо знать наизусть и уметь на них отвечать.

Верно – Это свойство диагонали прямоугольника: Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.
Неверно – площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту
Неверно – В равнобедренном треугольнике ТОЛЬКО биссектриса угла, лежащего ПРОТИВ основания, является медианой и высотой.

Ответ:

Часть 2

Модуль “Алгебра”

Решите неравенство (5x – 9)² ≥ (9x – 5)²

Решение

$(5x - 9)^2 \ge (9x - 5)^2$

$25x^2 - 80x +81 \ge 81x^2 - 80x + 25$

$25x^2 - 80x +81 - 81x^2 + 80x - 25 \ge 0$

$-56x^2 + 56 \ge 0$

$-56x^2 \ge -56$

$56x^2 \ge 56$

$x^2 \ge 56 : 56$

$x \ge 1$

Так как квадрат положительных и отрицательных чисел дает в результате положительное число, то решением данного уравнения является [-1; 1]

Ответ:

[-1; 1]

Из двух городов одновременно на встречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 48 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 168 км, скорость первого велосипедиста равна 15 км/ч, скорость второго – 30 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист до места встречи.

Решение

Имеем

V1 = 15 км/ч
V2 = 30 км/ч
S = 168 км

Преобразуем минуты стоянки в часы

48 мин = 48 /60 = 0,8

Пусть

t1 = x – время, потраченное на поездку первым велосипедистом
t2 = (x + 0,8) – время, потраченное на поездку вторым велосипедистом

Отсюда

S1 = 15 * x
S2 = 30 * (x + 0,8)

Получаем

S1 + S2 = S

15x + 30 * (x + 0,8) = 168

15x + 30x + 30*0,8 = 168

15x + 30x + 24 = 168

45x = 168 – 24 = 144

x = 144 : 45 = 3,2

S1 = 15 * x = 3,2 * 15 = 48

S2 = 168 – 48 = 120

Ответ:

120

Постройте график функции

$y = \frac{(x^2 + x - 6)(x^2 - 2x - 3)}{x^2 - 9}$

и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение

Разложим на множители каждое квадратное уравнение в данной функции

$x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)$

$x^2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3)$

$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$

Выполним преобразования

$y = \frac{(x^2 + x - 6)(x^2 - 2x - 3)}{x^2 - 9} = \frac{(x + 3)(x - 2)(x + 1)(x - 3) }{(x - 3)(x + 3)} =$

$= (x - 2)(x + 1) = x^2 + x - 2x - 2 = x^2 - x - 2$

Перед нами квадратное уравнение, значит функция представлена параболой, ветки которой направлены вверх (поскольку коэффициент “а” положительный).

Построим график данной функций

Функция представлена на графике красным цветом.

Фиолетовым цветом (пунктиром) изображена функция y=m.

Из графика видно, что функция y=m имеет с графиком одну общую точку только в вершине параболы.

Найдём значение вершины параболы:

Вершина параболы x² – x – 2:

a=1, b=-1, c=-2

x₀ = -b/2a = -(-1) / 2 = 1/2 = 0,5

y₀ = x² – x – 2 = 0,5² – 0,5 – 2= -2,25

y=m имеет с графиком ровно одну общую точку: -2,25

Ответ:

-2,25

Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответсвенно 45° и 120°, а CD = 40

Решение

Выполним чертёж, согласно заданного условия:

Проведём из точки B перпендикуляр к основанию AD. Точку пересечения с основанием AD обозначим через K.

Из точки C проведём высоту трапеции к основанию AD. Точку пересечения с основанием AD обозначим через H.

BK = CH = h – высота трапеции сумма смежных углов при боковой стороне равна 180°

Отсюда

∠ADC = 180° – ∠BCD = 180° – 120° = 60°

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆CDH. Нам известно, что

CD = 40
∠HDC = ∠ADC = 60°
∠DHC = 90°

Определение: Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе

$sin D = \frac{a}{c} = \frac{CH}{CD}$

$CH = sin D * CD = sin 60° * 40 = \frac{\sqrt{3}}{2} * 40 = 20\sqrt{3}$

Углы ∠ABC и ∠BAK равны, как накрест лежащие углы при параллельных прямых:

∠ABC = ∠BAK = 45°

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆KBA . Нам известно, что

∠BAK = 45°
∠BKA = 90°
BK = CH = 20√3

$sin A = \frac{a}{c} = \frac{BK}{AB}$

$AB = \frac{BK}{sin A} = \frac{20\sqrt{3}}{sin 45°} = \frac{20\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{20\sqrt{3} * 2}{\sqrt{2}}$

Выполним преобразование дроби, умножив числитель и знаменатель на √2

$\frac{40\sqrt{3} * \sqrt{2}}{\sqrt{2} * \sqrt{2}} = \frac{40\sqrt{3} * \sqrt{2}}{2} = 20\sqrt{3} * \sqrt{2} = 20\sqrt{6}$

Длина отрезка AB равна 20√6

Ответ:

20√6

Окружности с центрами в точках I и J не имеют общих точек, и ни одна не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m:n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m:n.

Решение

Выполним чертёж, согласно заданного условия:

По условию задачи имеем:

IP:PJ = m:n

Внутренняя общая касательная MC к приведённым окружностям касается их в точкам M и C.

Согласно свойству касательных отрезок IM ⟂ MC, а отрезок CJ ⟂ MC, следовательно IM || CJ.

Рассмотрим треугольники ∆IPM и ∆PCJ.

Данные треугольники имеют общий угол ∠P. А их углы ∠IMP и ∠PCJ вертикальные (равны 90°), т.е. данные углы равны ∠IMP = ∠PCJ

Следовательно, треугольники ∆IPM и ∆PCJ подобны по двум углам.

Для подобных треугольников справедливо отношение сторон:

$\frac{IP}{PJ} = \frac{IM}{CJ}$

по условию задачи

$\frac{IP}{PJ} = \frac{m}{n}$

следовательно

$\frac{IM}{CJ} = \frac{m}{n}$

IM и CJ являются радиусами окружностей. А 2*IM и 2*CJ являются диаметрами окружностей.

Следовательно

$\frac{2IM}{2CJ} = \frac{m}{n}$

Утверждение доказано.

В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK:KM = 2:11. Прямая AK пересекает сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника BKP к площади треугольника AKM.

Решение

Выполним чертёж согласно условия:

Дано:

BK:KM = 2:11
BK = 2
KM = 11
BM = BK + KM = 2 + 11 = 13
AC = AM + MC
AM = MC = AC : 2 – по свойству медианы

Пусть площадь треугольника ∆ABC = S.

Известно, что медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника – в нашем случае это треугольники ∆ABM и ∆MBC. Отсюда

$S_{ABM} = S_{MBC} = \frac{S_{ABC}}{2} = \frac{S}{2}$

Рассмотрим треугольники ∆ABK и ∆AKM. Они являются частью треугольника ∆ABM, следовательно:

$S_{ABK} + S_{AKM} = S_{ABM} = \frac{S}{2}$

Отсюда площадь треугольника ∆ABK равна

$S_{ABK} = \frac{S}{2} - S_{AKM}$

Оба треугольника ∆ABK и ∆AKM имеют общую высоту, проведенную из вершины А к основаниям BK и KM соответсвенно.

В таком случае, соотношение площадей этих треугольников рвано соотношению их оснований, а именно:

$\frac{S_{ABK}}{S_{AKM}} = \frac{2}{11}$

$\frac{ \frac{S}{2} - S_{AKM} }{S_{AKM}} = \frac{2}{11}$

Отсюда площадь треугольника ∆AKM будет равна

$11 * (\frac{S}{2} - S_{AKM}) = 2 * S_{AKM}$

$11 \frac{S}{2} - 11 S_{AKM} = 2 S_{AKM}$

$11 \frac{S}{2} = 2 S_{AKM} + 11 S_{AKM} = 13 S_{AKM}$

$11S = 13 S_{AKM} * 2 = 26 S_{AKM}$

$S_{AKM} = \frac{11S}{26}$

Рассмотрим треугольники ∆AKM и ∆NKB.

Эти треугольники подобны по трём углам:

углы ∠MAK и ∠BNK равны, как углы при параллельных прямых (BN и AM) и секущей (AN)
углы ∠AMK и ∠KBN равны, как углы при параллельных прямых (BN и AM) и секущей (BM)
углы ∠AKM и ∠BKN равны, как вертикальные углы

Следовательно

$\frac{AM}{BN} = \frac{KM}{BK} = \frac{11}{2}$

Найдём BN

$BN= \frac{2AM}{11}$

Рассмотрим треугольники ∆APC и ∆BNP.

Эти треугольники подобны по трём углам:

углы ∠CAP и ∠BNP равны, как углы при параллельных прямых (BN и AC) и секущей (AN)
углы ∠ACP и ∠PBN равны, как углы при параллельных прямых (BN и AC) и секущей (BC)
углы ∠APC и ∠BPN равны, как вертикальные углы

Следовательно

$\frac{AC}{BN} = \frac{PC}{BP}$