Меню Закрыть

ОГЭ по математике 2019. ТТЗ Ященко. 14 вариантов. Вариант 6

ОГЭ по математике 9 класс 2019 года под редакцией И. В. Ященко (14 вариантов) — Вариант 6

При написании данной работы «ОГЭ по математике 2019. ТТЗ Ященко. 14 вариантов. Вариант 6» было использовано пособие «ОГЭ 2019. Математика. 14 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ОГЭ  И. Р. Высоцкий, Л. О. Рослова, Л. В. Кузнецова, В. А. Смирнов, А. В. Хачатурян, С. А. Шестаков, Р. К. Гордин, А. С. Трепалин, А. В. Семенов, П. И. Захаров; под редакцией И. В. Ященко. — М.: Издательство «Экзамен», МЦНМО, 2019″.

Часть 1

Модуль «Алгебра»


  1. Найдите значение выражения

    \[ (\frac{8}{15} + \frac{3}{10}) * 9 \]

Решение

    \[ (\frac{8}{15} + \frac{3}{10}) * 9 = \frac{8}{15}*9 + \frac{3}{10} * 9 = \frac{8}{5}*3 + \frac{27}{10} = \]

    \[ = \frac{24}{5} + \frac{27}{10} = \frac{24 * 2}{5 * 2} + \frac{27}{10} = \frac{48 + 27}{10} = \frac{75}{10} = 7,5 \]

Ответ:

7,5


  1. На рулоне обоев написано, что длина полотна равна 10 м ±4%. Какую длину не может иметь полотно?
  1. 10 м 30 см
  2. 10 м 44 см
  3. 10 м 6 см
  4. 9 м 95 см
Решение

Найдём чему равно 4% от 10 м

10 : 100 * 4 = 0,4 (м)

Определим допустимое отклонение указанной длины — ±4%

10 — 0,4 = 9,6 = 9 м 60 см

10 + 0,4 = 10,4 = 10 м 40 см

Длина рулона может колебаться от 9,6 м до 10,4

Из предложенных вариантов полотно не может иметь длину 10 м 44 см — ответ 2

Ответ:

2


  1. На координатной прямой отмечены числа p, q и r.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-6-variant-01

Какая из разностей q-p, r-q, p-r отрицательная

  1. q-p
  2. r-q
  3. p-r
  4. ни одна из них
Решение

Разность q-p — положительная, поскольку q>p

Разность r-q — положительная, поскольку r>q

Разность p-r — отрицательная, поскольку p<r

Ответ:

3


  1. Найдите значение выражения

    \[ 2\sqrt{13} * 5\sqrt{2} * \sqrt{26} \]

Решение

    \[ 2\sqrt{13} * 5\sqrt{2} * \sqrt{26} = \sqrt{4} * \sqrt{13} * \sqrt{25} * \sqrt{2} * \sqrt{26}  = \sqrt{4*13*25*2*26} \]

    \[ = \sqrt{67600} = 260 \]

Ответ:

260


  1. На графике жирными точками показан курс евро, установленный Центробанком РФ на все рабочие дни со 2 по 27 октября 2017 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена евро в рублях. Для наглядности точки соединены линиями. Определите, какого числа курс был наименьшим за указанный период.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-6-variant-02

Решение

Проведём от минимального значения графика линию к горизонтальной оси.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-6-variant-03

Минимальный курс был 16 октября

Ответ:

16


  1. Найдите корень уравнения

    \[ \frac{7}{x - 5} = 2 \]

Решение

    \[ \frac{7}{x - 5} = 2 \]

    \[ 7 = 2 * (x - 5) \]

    \[ 7 = 2x - 10 \]

    \[ 2x = 7 + 10 = 17 \]

    \[ x = 17 : 2 = 8,5 \]

Ответ:

8,5


  1. Вкладчик открыл счёт в банке и положил на него 14000 рублей на год без возможности пополнения счёта и снятия денег. По условиям вклада ровно через год банк начисляет 15% годовых. Какая сумма будет в этом счёте через год после открытия?
Решение

14000 — это 100%

x — 15%

x = 14000 * 15 : 100 = 2100 (руб) — 15% от общей суммы вклада

14000 + 2100 = 16100 — получит вкладчик в конце года

Ответ:

16100


  1. На диаграмме показаны площади семи крупнейших озёр мира. Данные округлены до десятых.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-6-variant-04

Какие из следующих утверждений верны?

  1. Площадь озера Байкал меньше площади озера Виктория примерно на 38 тыс.км2
  2. Площадь Каспийского моря больше площади озера Верхнее менее, чем в трое.
  3. Озеро Гурон входит в тройку крупнейших по площади озёр мира.
  4. Площадь озера Мичиган составляет примерно 58 тыс.км2
Решение

Проверим каждое утверждение

1) Площадь озера Байкал меньше площади озера Виктория примерно на 38 тыс.км2

69,5 — 31,5 = 38 (тыс.км2)

Данное утверждение верно

2) Площадь Каспийского моря больше площади озера Верхнее менее, чем в трое.

371,0 : 82,4 = 4,5

Данное утверждение неверно

3) Озеро Гурон входит в тройку крупнейших по площади озёр мира.

На представленном графике, озеро Гурон стоит на 4 месте. Данное утверждение неверно

4) Площадь озера Мичиган составляет примерно 58 тыс.км2

На представленном графике, площадь озера Мичиган составляет примерно 58 тыс.км2

Данное утверждение верно

Ответ:

1, 4


  1. Оля, Денис, Витя, Артур и Рита бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должна будет девочка.
Решение

Количество детей — 5 человек

Количество девочек — 2 человека

2 : 5 = 0,4

Вероятность того, что начинать игру должна будет девочка равна 0,4.

Ответ:

0,4


  1. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Формулы:

1)

    \[ y = x + 3  \]

2)  

    \[ y = 3   \]

3)  

    \[ y = 3x \]

Графики:

OGE-mat-9-klass-2019-14var-6-variant-05

В таблице под каждой буквой укажите соответсвующий номер.

Решение
  1. Графику А соответсвует функция 1, поскольку функция представлена прямой. Выполним проверку: a) при х = 0,  y = x + 3 = 0 + 3 = 3; б) при х = -3, y = x + 3 = (-3) + 3 = 0
  2. Графику Б соответсвует функция 2, поскольку функция представлена постоянным числом 3.
  3. Графику В соответсвует функция 3, поскольку функция представлена прямой. Выполним проверку: a) при х = 0,  y = 3*0 = 0; б) при х = 1, y = 3*1 = 3.

Ответ:

А — 1 ; Б — 2 ; В — 3


  1. Последовательность (bn) задана условиями:

    \[ b_1 = -6,  b_{n+1} = -2\frac{1}{b_n}  \]

при n > 1

Найдите b5

Решение

Воспользовавшись данной формулой

    \[ b_{n+1} = -2\frac{1}{b_n}  \]

найдем второй член b2 данной последовательности

    \[ b_2 = -2\frac{1}{b_n} = -2\frac{1}{b_1} = -2\frac{1}{-6} = \frac{1}{3} \]

Найдем третий член b3 данной последовательности

    \[ b_3 = -2\frac{1}{b_n} = -2\frac{1}{b_2} = -2\frac{1}{\frac{1}{3}} = -6 \]

Найдем четвёртый член b4 данной последовательности

    \[ b_4 = -2\frac{1}{b_n} = -2\frac{1}{b_3} = -2\frac{1}{-6} = \frac{1}{3} \]

Найдем пятый член b5 данной последовательности

    \[ b_5 = -2\frac{1}{b_n} = -2\frac{1}{b_4} = -2\frac{1}{\frac{1}{3}} = -6 \]

Ответ:

-6


  1. Найдите значение выражения

    \[ \frac{6ab}{a + 6b} * (\frac{a}{6b} -  \frac{6b}{a})\]

при

    \[ a = 6\sqrt{6} + 9, b = \sqrt{6} - 6 \]

Решение

Выполним преобразование дроби:

    \[ \frac{6ab}{a + 6b} * (\frac{a}{6b} -  \frac{6b}{a}) = \frac{6ab}{a + 6b} * \frac{a}{6b} -  \frac{6ab}{a + 6b} * \frac{6b}{a} = \]

    \[ =\frac{a * a}{a + 6b}  -  \frac{6b * 6b}{a + 6b} = \frac{a^2 - 36b^2}{a + 6b} = \frac{(a+6b)(a-6b)}{a + 6b} = a - 6b \]

Подставим значения a и b в полученное выражение:

    \[ a - 6b = (6\sqrt{6} + 9) - 6* ( \sqrt{6} - 6 ) = 6\sqrt{6} + 9 - 6\sqrt{6} + 36 = 9 + 36 = 45 \]

Ответ:

45


  1. Закон Кулона описывает взаимодействие между двумя электрическими зарядами. Закон можно записать в виде

    \[ F = k \frac{q_1 q_2}{r^2} \]

где F — сила взаимодействия в ньютонах, q1 и q2 — величины зарядов в кулонах, k — коэффициент пропорциональности в Hм2 / Кл2, а r — расстояние между зарядами в метрах. Пользуясь формулой, найдите величину заряда q1 (в кулонах), если k = 9 * 109  Hм2 / Кл2, q2 = 0,008 Кл, r = 300 м, F = 0,64 H.

Решение

Исходная формула

    \[ F = k \frac{q_1 q_2}{r^2} \]

Отсюда q1 будет равно

    \[ q_1 = \frac{F * r^2}{k * q_2} \]

По условию задачи известно:

k = 9 * 109  Hм2 / Кл2
q2 = 0,008 Кл
r = 300 м
F = 0,64 H

Подставим значения в формулу:

    \[ q_1 = \frac{F * r^2}{k * q_2} = \frac{0,64 * 300^2}{9*10^9 * 0,008} = \frac{57600}{72000000} = 0,0008 \]

Величина заряда q1 = 0,0008 Кл

Ответ:

0,0008


  1. Укажите решение неравенства 81x2 ≥ 16

OGE-mat-9-klass-2019-14var-6-variant-06

Решение

Решим неравенство.

81x2 ≥ 16

x2 ≥ 16 : 81

x ≥ 4/9

Так как x указан в уравнении в квадрате, то он может принимать как положительные, так и отрицательные значения: x ≤ -4/9; x ≥4/9

Данному решению удовлетворяет график под номером 4

Ответ:
4


Модуль «Геометрия»


  1. Колесо имеет 45 спиц.Углы между соседними спицами одинаковы. Найдите угол, который образуют две соседние спицы. Ответ дайте в градусах.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-6-variant-07

Решение

Известно, что колесо — это круг, составляющий 360°

По условию задачи, в колесе 45 спиц, а значит круг разбит на 45 равных углов

360 : 45 = 8° — величина угла, образованная двумя соседними спицами

Ответ:

8


  1. Косинус острого угла A треугольника ABC равен √19 / 10. Найдите sin A.
Решение

Одно из основных тригонометрических тождеств:

    \[ sin^2α + cos^2α = 1 \]

Отсюда

    \[ sin^2α = 1 - cos^2α \]

    \[ sin^2α = 1 - (\frac{\sqrt{19}}{10})^2 \]

    \[ sin^2α =1 - \frac{19}{100} = \frac{100}{100} - \frac{19}{100} = \frac{81}{100} \]

    \[ sin α = \sqrt{\frac{81}{100}} \]

    \[ sin α = \frac{9}{10} \]

    \[ sin α = 0,9 \]

Ответ:

sin A = 0,9


  1. Центр окружности,  описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 25. Найдите AC, если BC =48.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-6-variant-08

Решение

Определение: Если центр описанной около треугольника окружности лежит на стороне треугольника, то этот треугольник — прямоугольный.

Значит треугольник ∆ABC — прямоугольный, а угол ∠ACB = 90°

По условию задачи

R = 25
BC = 48

Тогда

AB = 2R = 25 * 2 = 50

Воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения третий сторона AC

    \[ a^2 + b^2 = c^2 \]

    \[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \]

Отсюда

    \[ AC^2 = AB^2 - BC^2 = 50^2 - 48^2 = 2500 - 2304 = 196 \]

    \[ AC = \sqrt{196} = 14 \]

Длина большой AC = 14

Ответ:

14


  1. В ромбе ABCD угол ABC равен 146°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-6-variant-09

Решение

Определение: Два угла в ромбе, прилегающие к одной стороне в сумме дают 180°

∠ABC + ∠BCD = 180°

∠BCD = 180° — ∠ABC = 180° — 146° = 34°

Определение: Одна из диагоналей делит содержащие её углы пополам.

То есть

∠BCA = ∠ACD = ∠BCD : 2 = 34 : 2 = 17°

Ответ:

∠ACD = 17°


  1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена фигура. Найдите её площадь.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-6-variant-10

Решение

Площадь данной фигуры равна сумме всех клеток = 19

Площадь фигуры равна 19

Ответ:

19


  1. Какие из следующих утверждений верны?
  1. Средняя линия трапеции равна сумме её основани.
  2. Все углы прямоугольника равны.
  3. Существуют три прямые, которые проходят через одну точку.

В ответ запишите номера выбранных утверждений.

Решение

Данное задание не является задачей. Вопросы, перечисленные здесь необходимо знать наизусть и уметь на них отвечать.

  1. Неверно — Средняя линия трапеции равна ПОЛУсумме её основани.
  2. Верно — Да, в прямоугольнике все углы прямые и равны 90°
  3. Верно

Ответ:

2, 3


Часть 2

Модуль «Алгебра»


  1. Решите неравенство (2x — 3)2 ≥ (3x — 2)2
Решение

    \[ (2x - 3)^2 \ge (3x - 2)^2 \]

    \[ 4x^2 - 12x +9 \ge 9x^2 - 12x +4 \]

    \[ 4x^2 - 12x +9 - 9x^2 + 12x - 4 \ge 0 \]

    \[ -5x^2 + 5 \ge 0 \]

    \[ -5x^2 \ge -5 \]

    \[ 5x^2 \ge 5 \]

    \[ x^2 \ge 5 : 5 \]

    \[ x \ge 1 \]

Так как квадрат положительных и отрицательных чисел дает в результате положительное число, то решением данного уравнения является [-1; 1]

Ответ:

[-1; 1]

  1. Из двух городов одновременно на встречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 28 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 286 км, скорость первого велосипедиста равна 10 км/ч, скорость второго — 30 км/ч. Определите расстояние, которое проехал второй велосипедист до встречи с первым.
Решение

Имеем

V1 = 10 км/ч
V2 = 30 км/ч
S = 286 км

Преобразуем минуты стоянки в часы

28 мин = 28 /60 = 7/15

Пусть

t1 = x — время, потраченное на поездку первым велосипедистом
t2 = (x + 7/15) — время, потраченное на поездку вторым велосипедистом

Отсюда

S1 = 10 * x
S2 = 30 * (x + 7/15)

Получаем

S1 + S2 = S

10x + 30 * (x + 7/15) = 286

10x + 30x + 30*7/15 = 286

10x + 30x + 14 = 286

40x = 272

x = 272 : 40 = 6,8

S1 = 10 * x = 6,8 * 10 = 68

S2 = 286 — 68 = 218

Ответ:

218


  1. Постройте график функции

    \[ y = \frac{(x^2 - 5x + 6)(x^2 + x - 2)}{x^2 - 4x + 3}  \]

и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение

Разложим на множители каждое квадратное уравнение в данной функции

    \[ x^2 - 5x + 6 = (x - 3)(x - 2) \]

    \[ x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1) \]

    \[ x^2 - 4x + 3 = (x - 3)(x - 1) \]

Выполним преобразования

    \[ y = \frac{(x^2 - 5x + 6)(x^2 + x - 2)}{x^2 - 4x + 3}  = \frac{(x - 3)(x - 2)(x + 2)(x - 1) }{(x - 3)(x - 1)} = \]

    \[ = (x - 2)(x + 2) = x^2 + 2x - 2x - 4 = x^2 - 4 \]

Построим график данной функций

OGE-mat-9-klass-2019-14var-6-variant-12

Функция представлена на графике красным цветом.

Фиолетовым цветом (пунктиром) изображена функция y=m.

Из графика видно, что функция y=m имеет с графиком одну общую точку только в вершине параболы.

Найдём значение вершины параболы:

Вершина параболы x2 — 4:

a=1, b=0, c=-4

x0 = -b/2a = -(0)/2 = 0

y0 = x2 — 4 = 02 — 4= -4

y=m имеет с графиком ровно одну общую точку: -4

Однако, график представлен дробью. В таком случае необходимо определить область допустимых значений. Так как делить на ноль нельзя, знаменатель не может равняться нулю.

x2 — 4x + 3 ≠ 0

Мы можем решить данное квадратное уравнение стандартным способом и определить значение x, при котором значение в знаменателе будет принимать ноль. Но быстрее это сделать, воспользовавшись другим представлением данного квадратного уравнения:

x2 — 4x + 3 = (x — 3)(x — 1)

Выражение в каждой скобке не должно равняться нулю:

x — 3 ≠ 0

x ≠ 3

x — 1 ≠ 0

x ≠ 1

Эти же значения будут являться корнями уравнения, если мы решим первоначальное квадратное уравнение.

Данный график имеет имеет «выколотые» точки при x=1 и x=3. Следовательно, проходя через эти точки функция y=m имеет с графиком ровно одну общую точку. Найдем значение этих точек из упрощенного уравнения:

y1 = x2 — 4 = 12 — 4 = -3

y2 = x2 — 4 = 32 — 4 = 9 — 4 = 5

y=m имеет с графиком ровно одну общую точку при значениях m равных: -4; -3; 5

Ответ:

-4; -3; 5


  1. Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответсвенно 30° и 135°, а CD = 29
Решение

Выполним чертёж, согласно заданного условия:

OGE-mat-9-klass-2019-14var-6-variant-13

 

Проведём из точки B перпендикуляр к основанию AD. Точку пересечения с основанием AD обозначим через K.

Из точки C проведём высоту трапеции к основанию AD. Точку пересечения с основанием AD обозначим через H.

BK = CH = h — высота трапеции сумма смеж­ных углов при бо­ко­вой сто­ро­не равна 180°

Отсюда

∠ADC = 180° — ∠BCD = 180° — 135° = 45°

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆CDH. Нам известно, что

CD = 29
∠HDC = 45°
∠DHC = 90°

Определение: Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе

    \[sin D = \frac{a}{c} = \frac{CH}{CD} \]

    \[CH = sin D * CD = sin 45° * 29 = \frac{\sqrt{2}}{2} * 29 = 14,5\sqrt{2} \]

Углы ∠ABC и ∠BAK равны, как накрест лежащие углы при параллельных прямых:

∠ABC = ∠BAK = 30°

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆KBA . Нам известно, что

∠BAK = 30°
∠BKA = 90°
BK = CH = 14,5√2

Определение: Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе

    \[sin A = \frac{a}{c} = \frac{BK}{AB} \]

    \[AB =  \frac{BK}{sin A} = \frac{14,5\sqrt{2}}{sin 30°} = \frac{14,5\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = 14,5\sqrt{2}*2 = 29\sqrt{2} \]

Длина отрезка AB равна 29√2

Ответ:

29√2


  1. Окружности с центрами в точках P и Q не имеют общих точек, и ни одна не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении a:b. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как a:b.
Решение

Выполним чертёж, согласно заданного условия:

OGE-mat-9-klass-2019-14var-6-variant-11

По условию задачи имеем:

OP:OQ = a:b

Внутренняя общая касательная MC к приведённым окружностям касается их в точкам M и C.

Согласно свойству касательных отрезок IM ⟂ MC, а отрезок CQ ⟂ MC, следовательно PM || CQ.

Рассмотрим треугольники ∆POM и ∆OCQ.

Данные треугольники имеют общий угол ∠O. А их углы ∠PMO и ∠OCQ вертикальные (равны 90°), т.е. данные углы равны ∠PMO = ∠OCQ

Следовательно, треугольники ∆POM и ∆OCQ подобны по двум углам.

Для подобных треугольников справедливо отношение сторон:

    \[\frac{OP}{OQ} = \frac{PM}{CQ} \]

по условию задачи

    \[\frac{OP}{OQ} = \frac{a}{b} \]

следовательно

    \[\frac{PM}{CQ} = \frac{a}{b} \]

PM и CQ являются радиусами окружностей. А 2*PM и 2*CQ являются диаметрами окружностей.

Следовательно

    \[\frac{2PM}{2CQ} = \frac{a}{b} \]

Утверждение доказано.


  1. В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK:KM = 4:1. Прямая AK пересекает сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM.
Решение

Выполним чертёж согласно условия:

OGE-mat-9-klass-2019-14var-6-variant-14

Дано:

BK:KM = 4:1
BK = 4
KM = 1
BM = BK + KM = 4 + 1 = 5
AC = AM + MC
AM = MC = AC : 2 — по свойству медианы

Пусть площадь треугольника ∆ABC = S.

Известно, что медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника — в нашем случае это треугольники ∆ABM и ∆MBC. Отсюда

    \[ S_{ABM} = S_{MBC} = \frac{S_{ABC}}{2} = \frac{S}{2} \]

Рассмотрим треугольники ∆ABK и ∆ABM.

Оба треугольника имеют одинаковую высоту, проведённую к стороне BM из вершины A. Исходя из этого, площади данных треугольников относятся как их основания BK и BM. Отсюда имеем:

    \[ S_{ABK} = \frac{BK}{BM} * S_{ABM} = \frac{4}{5} * S_{ABM}= \frac{4}{5} * \frac{S}{2} = S\frac{2}{5} \]

Из точки M проведём прямую, параллельную AP. Точку пересечения с BC обозначим буквой N.

Известно, что точка M является серединой стороны AC, следовательно отрезок MN является средней линией треугольника ∆APC.

Отсюда PN = CN.

По теореме Фалеса находим:

    \[ \frac{BP}{PN} = \frac{BK}{KM} = \frac{4}{1} \]

Так как мы выяснили, что PN = CN, получаем:

    \[ \frac{BP}{BC} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]

Стороны треугольников ∆BKP и ∆BMC сонаправлены — их площади соотносятся, как произведение отношений сонаправленных сторон, поэтому:

    \[ \frac{S_{BKP}}{S_{BMC}} = \frac{BK}{BM} * \frac{BP}{BC} = \frac{4}{5} * \frac{2}{3} = \frac{8}{15} \]

Найдем площадь треугольника ∆BKP

    \[ S_{BKP} = \frac{8}{15} * S_{BMC} \]

Отсюда площадь четырёхугольника KPCM будет равна:

    \[ S_{KPCM} = \frac{7}{15} * S_{BMC} = \frac{7}{30}S \]

Искомое отношения площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM будет равно

    \[ \frac{S_{ABK}}{S_{KPCM}} = \frac{\frac{2}{5}S}{\frac{7}{30}S} = \frac{2}{5} * \frac{30}{7} = \frac{12}{7} \]

Отношение площадей равно 12:7

Ответ:

12:7