ОГЭ по математике 2019. ТТЗ Ященко. Вариант 5 с решением

ОГЭ по математике 9 класс 2019 года под редакцией И. В. Ященко (14 вариантов) – Вариант 5

При написании данной работы “ОГЭ по математике 2019. ТТЗ Ященко. 14 вариантов. Вариант 5” было использовано пособие “ОГЭ 2019. Математика. 14 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ОГЭ И. Р. Высоцкий, Л. О. Рослова, Л. В. Кузнецова, В. А. Смирнов, А. В. Хачатурян, С. А. Шестаков, Р. К. Гордин, А. С. Трепалин, А. В. Семенов, П. И. Захаров; под редакцией И. В. Ященко. – М.: Издательство “Экзамен”, МЦНМО, 2019″.

Часть 1

Модуль “Алгебра”

Найдите значение выражения

$(\frac{1}{13} - 2\frac{3}{4}) * 26$

Решение

$(\frac{1}{13} - 2\frac{3}{4}) * 26 = \frac{1}{13} * 26 - \frac{11}{4} * 26 = \frac{1}{1} * 2 - \frac{11}{2} * 13 =$

$= \frac{2}{1} - \frac{143}{2} = \frac{4}{2} - \frac{143}{2} = -\frac{139}{2} = - 69,5$

Ответ:

– 69,5

В таблице приведены расстояния от Солнца до четырёх планет Солнечной системы. Какая из этих планет ближе всех к солнцу?

Планета	Юпитер	Марс	Сатурн	Нептун
Расстояние (в км)	7,781 * 10⁸	2,28 * 10⁸	1,427 * 10⁹	4,497 * 10⁹

Юпитер
Марс
Сатурн
Нептун

Решение

Планеты Сатурн и Нептун сразу отпадают, поскольку их расстояние исчисляется 10⁹

Самое маленькое значение из приведённых у Марса – 2,28 * 10⁸

Ответ:

Какому из данных промежутков принадлежит число 2/9?

[0,1; 0,2]
[0,2; 0,3]
[0,3; 0,4]
[0,4; 0,5]

Решение

Преобразуем дробь:

2/9 = ~ 0,22

Даная величина больше 0,2 , но меньше 0,3:

0,2 < 0,22 < 0,3

что соответсвует ответу номер 2

Ответ:

Найдите значение выражения

$\frac{3^{-5} * 3^{-7}}{3^{-15}}$

Решение

$\frac{3^{-5} * 3^{-7}}{3^{-15}} = \frac{3^{-5 + (-7)}}{3^{-15}} = \frac{3^{-12}}{3^{-15}} =$

$= 3^{-12-(-15)} = 3^{-12+15} = 3^3 = 27$

Ответ:

На рисунке показано, как изменялась температура воздуха на протяжении одних суток. По горизонтали указано время суток, по вертикали – значение температуры в градусах Цельсия. Найдите наибольшее значение температуры. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Решение

Проведём от пикового значения графика линию к вертикальной оси.

Искомая температура – 33 градуса Цельсия

Ответ:

Найдите корень уравнения

$\frac{1}{x + 6} = 2$

Решение

$1 = 2 * (x + 6)$

$1 = 2x + 12$

$-2x = 12 - 1$

$-2x = 11$

$x = 11 : (-2) = -5,5$

Ответ:

-5,5

Принтер печатает одну страницу за 10 секунд. Сколько страниц можно напечатать на этом принтере за 14,5 минут?

Решение

Выполним преобразования:

14,5 минут = 14,5 * 60 = 870 секунд

870 : 10 = 87 (стр) – количество страниц, которое можно напечатать за 14,5 минут

Ответ:

На диаграмме показано содержание питательных веществ в твороге. Определите по диаграмме, содержание каких веществ преобладает.

* к прочему относятся вода, витамины и минеральные вещества

жиры
белки
углеводы
прочее

Решение

На графике хорошо видно значительное преобладание “прочих” веществ над остальными.

Ответ:

Правильную игральную кость бросают дважды. Известно, что сумма выпавших очков больше 8. Найдите вероятность события “при втором броске выпало 6 очков”.

Решение

В правильной игральной кости шесть граней с нанесенными цифрами от 1 до 6.

Сумму более 8 очков дают два броска в следующих комбинациях (первая цифра – первый бросок, вторая цифра – второй бросок):

3:6, 4:5, 4:6, 5:4, 5:5, 5:6, 6:3, 6:4, 6:5, 6:6

Всего возможных исходов 10.

Из них, удовлетворяющих условию задачи исходов – “при втором броске выпало 6 очков” – 4 исхода.

Чтобы найти вероятность такого события воспользуемся классической формулой определения вероятностей:

$P_{(A)} = \frac{m}{n}$

где

m – число благоприятствующих событию A исходов,
n – число всех элементарных равновозможных исходов в испытании.

Получаем:

$P_{(A)} = \frac{4}{10} = 0,4$

Вероятность события “при втором броске выпало 6 очков” равна 0,4.

Ответ:

0,4

Установите соответствие между функциями и графиками.

Формулы:

А)

$y = -x^2 -4x -3$

Б)

$y = -x^2 +4x -3$

В)

$y = x^2 +4x +3$

Графики:

В таблице под каждой буквой укажите соответсвующий номер.

Решение

Все функции представлены квадратными уравнениями, поэтому на графиках они являются параболами.

Графику 1 соответсвует функция А, поскольку функция представлена квадратным уравнением, а значит: график является параболой, ветви которой направлены вниз, учитывая отрицательное значение коэффициента “а” (-1). Выполним проверку: a) при х = 0, y = -x² – 4x – 3 = -0² – 4*0 – 3 = -3; б) при х = -2, y = -(-2)² – 4 * (-2) – 3 = -4 + 8 – 3 = 1; в) при х = -3, y = -(-3)² – 4 * (-3) – 3 = -9 + 12 – 3 = 0;
Графику 2 соответсвует функция Б, поскольку функция представлена квадратным уравнением, а значит: график является параболой, ветви которой направлены вниз, учитывая отрицательное значение коэффициента “а” (-1). Выполним проверку: a) при х = 0, y = -x² + 4x – 3 = -0² + 4*0 – 3 = -3; б) при х = 2, y = -(2)² +4 * 2 – 3 = -4 + 8 – 3 = 1; в) при х = 3, y = -(3)² +4 * 3 – 3 = -9 + 12 – 3 = 0.
Графику 3 соответсвует функция В, поскольку функция представлена квадратным уравнением, а значит: график является параболой, ветви которой направлены вверх, учитывая положительное значение коэффициента “а” (1). Выполним проверку: a) при х = 0, y = x² +4x +3 = 0² +4*0 +3 = 3.

Ответ:

А – 1 ; Б – 2 ; В – 3

Геометрическая прогрессия (b_n) задана условиями:

$b_1 = -2\frac{1}{3}, b_{n+1} = 3b_n$

Найдите b₆

Решение

Для решения мы будем использовать формулу:

$b_n = b_1 * q^{n-1}$

Для начала найдем значение b₂, это поможет нам найти значение q

$b_2 = 3b_n = 3b_1 = 3 * (-2\frac{1}{3}) = -3\frac{7}{3} = -7$

Теперь находим чему равен q

$b_n = b_1 * q^{n-1}$

$q^n^-^1 = \frac{b_n}{b_1} = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-7}{-2 \frac{1}{3}} = \frac{7}{\frac{7}{3}} = 3$

$b_6 = b_1 * q^5 = -2\frac{1}{3} * 3^5 = - \frac{-7}{3} * 3^5 = -7 * 3^4 = -7 * 81 = -567$

Ответ:

-567

Найдите значение выражения

$\frac{a - 8x}{a} : \frac{ax - 8x^2}{a^2}$

при

$a = 27, x = 45$

Решение

Выполним некоторое преобразование дроби:

$\frac{a - 8x}{a} : \frac{ax - 8x^2}{a^2} = \frac{a - 8x}{a} * \frac{a^2}{ax - 8x^2} = \frac{a - 8x}{1} * \frac{a}{ax - 8x^2}$

$\frac{a - 8x}{1} * \frac{a}{ax - 8x^2} = \frac{a - 8x}{1} * \frac{a}{x * (a - 8x)} = \frac{1}{1} * \frac{a}{x * 1} = \frac{a}{x}$

Подставим значения х и a в полученное выражение:

$\frac{a}{x} = \frac{27}{45} = \frac{3}{5} = 0,6$

Ответ:

0,6

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I²R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R (в омах), если мощность составляет 15,75 Вт, а сила тока 1,5 А.

Решение

Исходная формула

$P = I^2R$

По условию задачи известно:

P = 15,75 Вт
I = 1,5 А

Подставим значения в формулу:

$R = \frac{P}{I^2} = \frac{15,75}{1,5^2} = \frac{15,75}{2,25} = 7$

Сопротивление R = 7 омм

Ответ:

7 омм

Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.

1) x² – 25 > 0

2) x² – 25 < 0

3) x² + 25 < 0

4) x² + 25 > 0

Решение

Итак, имеем две функции x² – 25 и x² + 25. Графиками этих функций являются параболы.

Решим каждое из неравенств.

1) x² – 25 > 0

x² > 25

x > 5

Так как x указан в уравнении в квадрате, то он может принимать как положительные, так и отрицательные значения: x < -5; x >5

Первое неравенство условиям решения, показанном на графике.

Проверим другие неравенства.

2) x² – 25 < 0

x² < 25

x < 5

3) x² + 25 < 0

x² < – 25

решения не имеет – квадрат числа не может принимать отрицательные значения

4) x² + 25 > 0

x² > – 25

решения не имеет – квадрат числа не может принимать отрицательные значения

Правильный ответ указан под номером 1.

Ответ:
1

Модуль “Геометрия”

Лестницу длиной 3 м прислонили к дереву. На какой высоте (в метрах) находится верхний её конец, если нижний конец отстоит от ствола дерева на 1,8 м?

Решение

На рисунке мы видим обычный прямоугольный треугольник состоящий из гипотенузы (лестница) и двух катетов (дерево и земля). Для нахождения длины катета воспользуемся теоремой Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов c²= a²+ b²

отюда

$a = \sqrt {c^2 - b^2}$

$a = \sqrt {3^2 - 1,8^2} = \sqrt {9 - 3,24} = \sqrt {5,76} = 2,4$

Итак, верхний конец лестницы находится на высоте 2,4 метра

Ответ:

2,4

Сторона треугольника равна 14, а высота, проведённая к этой стороне, равна 23. Найдите площадь треугольника.

Решение

Площадь треугольника вычисляется по формуле:

$S = \frac{1}{2} * ah$

где,

a – длина основания
h – высота треугольника

По условию задачи известно, что

a = 14
h = 23

Отсюда

$S = \frac{1}{2} * ah = \frac{1}{2} * 14 * 23 = 7 * 23 = 161$

Ответ:

Площадь треугольника равна 161

На окружности с центром O отмечены точки A и B иак, что ∠AOB = 45°. Длина меньшей дуги AB равна 91. Найдите длину большей дуги AB.

Решение

Большая дуга образована углом:

360 – 45 = 315°

В таком случае задачу можно решить элементарной пропорцией:

45° = 91

315° = x

$x = \frac{315 * 91}{45} = 637$

Длина большой дуги = 637

Ответ:

637

Основания трапеции равны 1 и 11. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

Решение

Введём обозначения, для удобства:

Средняя линия трапеции ABCD являетя средней линией треугольника ABC.

Длина средней линии треугольника ME равна половине его основания BC:

ME = BC : 2 = 1 : 2 = 0,5

Длина средней линии трапеции MK равна полусухое оснований трапеции:

$MK = \frac{BC + AD}{2} = \frac{1 + 11}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Таким образом больший из отрезков EK средней линии MK будет равен:

EK = MK – ME = 6 – 0,5 = 5,5

Ответ:

5,5

На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён треугольник. Найдите его площадь.

Решение

Формула площади треугольника через высоту:

$S = \frac{1}{2} * ah$

где,

a – длина основания
h – высота треугольника

На чертеже хорошо видно, что длина основания треугольника равна 3 клеткам, а высота 6 клеткам:

a = 3
h = 6

Отсюда

$S = \frac{1}{2} * ah = \frac{1}{2} * 3 * 6 = \frac{1}{2} * 18 = 9$

Площадь треугольника равна 9

Ответ:

Какие из следующих утверждений верны?

Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.
Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.
Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.

В ответ запишите номера выбранных утверждений.

Решение

Данное задание не является задачей. Вопросы, перечисленные здесь необходимо знать наизусть и уметь на них отвечать.

Верно – наименьший угол в любом треугольнике всегда не превышает 60 градусов.
Неверно
Верно – это одно из свойств диагоналей прямоугольника.

Ответ:

1, 3

Часть 2

Модуль “Алгебра”

Решите уравнение

$x^2 - 2x + \sqrt{4-x} = \sqrt{4-x} + 15$

Решение

$x^2 - 2x + \sqrt{4-x} = \sqrt{4-x} + 15$

$x^2 - 2x + \sqrt{4-x} - \sqrt{4-x} - 15 = 0$

$x^2 - 2x - 15 = 0$

Найдем дискриминант:

a=1, b=-2, c=-15

D = b²– 4ac = (-2)²– 4 * 1 * (-15) = 4 + 60 = 64

Дискриминант положительный – данная функция имеет два корня

Найдем корни уравнения:

$x = \frac{ -b \pm \sqrt{D} }{2a }$

$x_1 = \frac{ -(-2) + \sqrt{64} }{2 * 1}$

$x_1 = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2}$

$x_1 = 5$

$x_2 = \frac{ -(-2) - 8 }{2 * 1}$

$x_2 = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2}$

$x_2 = -3$

Проверим для x₁

$x^2 - 2x + \sqrt{4-x} = \sqrt{4-x} + 15$

$5^2 - 2*5 + \sqrt{4-5} = \sqrt{4-5} + 15$

$25 - 10 + \sqrt{-1} = \sqrt{-1} + 15$

Корень чётной степени из отрицательного числа не существует в области вещественных чисел. Поэтому x₁ нам не подходит.

Проверим для x₂

$x^2 - 2x + \sqrt{4-x} = \sqrt{4-x} + 15$

$(-3)^2 - 2*(-3) + \sqrt{4-(-3)} = \sqrt{4-(-3)} + 15$

$9 + 6 + \sqrt{7} = \sqrt{7} + 15$

$15 + \sqrt{7} = \sqrt{7} + 15$

Корень уравнения x₂ будет является решением данного уравнения

Ответ:

-3

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 75 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего параллельно путям со скоростью 3 км/ч навстречу поезду, за 30 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Решение

Преобразуем секунды в часы

30 секунд = 30 : 60 : 60 (ч)

75 + 3 = 78 (км/ч) – разница между скоростью поезда и пешехода.

78 * 30 : 60 : 60 = 0,65 (км) = 650 метров – длина поезда

Ответ:

650 метров

Постройте график функции

$y = \left\{\begin{matrix} x^2 - 6x +11, x \ge 2, \\ x + 1, x < 2, \end{matrix}\right.$

и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение

Система описывает два графика, первый из которых представляет собой параболу, а второй – прямую. Построим эти графики.

Первая подфункция x² – 6x +11, если x ≥ 2

График функции представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх (поскольку коэффициент “а” больше нуля).

Вторая подфункция x + 1, при x < 2 – это прямая.

Построим график для обеих функций

Первая функция представлена на графике красным цветом, а вторая функция – зеленым.

Фиолетовым цветом (пунктиром) изображена функция y=m.

Из графика видно, что функция y=m имеет с графиком ровно две общие точки:

первая точка – это место излома и равна она 3
вторая точка – это место пересечения функции y=m с вершиной параболы

Найдём значение вершины параболы:

Вершина параболы x² – 6x +11:

a=1, b=-6

x₀ = -b/2a = -(-6)/2 = 6/2 = 3

y₀ = x² – 6x + 11 = 3² – 6 * 3 + 11= 9 – 18 + 11 = 2

y=m имеет с графиком ровно две общие точки: 3 и 2

Ответ:

2; 3

Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 25, BC = 15, CF:DF = 3:2.

Решение

Выполним построение согласно условию и введём обозначения:

Проведём из точки B прямую к основанию AD, параллельную боковой стороне трапеции CD. Точку пересечения с основание AD обозначим через H, точку пересечения данной прямой с EF обозначим через K.

Отсюда и по условию задачи имеем:

AD = 25
BC = KF = HD = 15
CF:DF = BK:KH = 3:2

Отсюда

AH = AD – HD = 25 – 15 = 10

BH = CF + FD = BK + KH = 3x + 2x = 5x

Рассмотрим треугольники ∆ABH и ∆EBK.

Оба треугольника имеют общий угол ∠B.

Углы ∠BHA и ∠BKE равны друг другу, как соответственные углы при параллельных прямых (EK || AH), следовательно треугольники ∆ABH и ∆EBK подобны.

Для подобных треугольников справедливо соотношение сторон:

$\frac{EK}{AH} = \frac{BK}{BH}$

Подставим известные значения

$\frac{EK}{10} = \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}$

$EK = \frac{3}{5} * 10 = 6$

Известно, что

$EF = EK + KF = 6 + 15 = 21$

Длина отрезка EF равна 21

Ответ:

Окружности с центрами I и J не имеют общих точек. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m:n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m:n.

Решение

Выполним чертёж, согласно заданного условия:

По условию задачи имеем:

IP:PJ = m:n

Внутренняя общая касательная MC к приведённым окружностям касается их в точкам M и C.

Согласно свойству касательных отрезок IM ⟂ MC, а отрезок CJ ⟂ MC, следовательно IM || CJ.

Рассмотрим треугольники ∆IPM и ∆PCJ.

Данные треугольники имеют общий угол ∠P. А их углы ∠IMP и ∠PCJ вертикальные (равны 90°), т.е. данные углы равны ∠IMP = ∠PCJ

Следовательно, треугольники ∆IPM и ∆PCJ подобны по двум углам.

Для подобных треугольников справедливо отношение сторон:

$\frac{IP}{PJ} = \frac{IM}{CJ}$

по условию задачи

$\frac{IP}{PJ} = \frac{m}{n}$

следовательно

$\frac{IM}{CJ} = \frac{m}{n}$

IM и CJ являются радиусами окружностей. А 2*IM и 2*CJ являются диаметрами окружностей.

Следовательно

$\frac{2IM}{2CJ} = \frac{m}{n}$

Утверждение доказано.

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 80, а площадь 320, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Решение

Выполним чертёж, согласно заданного условия: