Меню Закрыть

ОГЭ по математике 2019. ТТЗ Ященко. 14 вариантов. Вариант 3

ОГЭ по математике 9 класс 2019 года под редакцией И. В. Ященко (14 вариантов) — Вариант 3

При написании данной работы «ОГЭ по математике 2019. ТТЗ Ященко. 14 вариантов. Вариант 3» было использовано пособие «ОГЭ 2019. Математика. 14 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ОГЭ  И. Р. Высоцкий, Л. О. Рослова, Л. В. Кузнецова, В. А. Смирнов, А. В. Хачатурян, С. А. Шестаков, Р. К. Гордин, А. С. Трепалин, А. В. Семенов, П. И. Захаров; под редакцией И. В. Ященко. — М.: Издательство «Экзамен», МЦНМО, 2019″.

Часть 1

Модуль «Алгебра»


  1. Найдите значение выражения 6,8 — 11 * (-6,1)
Решение

6,8 — 11 * (-6,1) = 6,8 + 67.1 = 73,9

Ответ:

73,9


  1. В таблице дано соответствие размеров женских платьев в Белоруссии, России, Англии и Европейском Союзе.
Белоруссия 80 84 88 92 96 100 104 108 112 116
Россия 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58
Англия 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Европейский Союз 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52

Какому европейскому размеру соответсвует 44-й размер платья в России?

  1. 38
  2. 88
  3. 50
  4. 10
Решение

Итак, из таблицы имеем, что 44-му размеру в России соответствует 38-ый размер в Европейском Союзе

Ответ:

1


  1. На координатной прямой отмечены точки A, B, C и D.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-3-variant-01

Одна из них соответствует числу 100/21. Какая это точка?

  1. точка A
  2. точка B
  3. точка C
  4. точка D
Решение

Преобразуем дробь:

100/21 = ~ 4,76

Даная величина соответсвует точке B на координатной прямой, поскольку она ближе к 5.

Ответ:

2


  1. Сколько целых чисел расположено между 3√7 и 7√3?
Решение

Преобразуем представленные числа:

3√7 =√9√7 = √(9 * 7) = √63

7√3 = √49√3 = √(49 * 3) = √147

Для удобства воспользуемся таблицей квадратов двузначных чисел.

Как видим, между двумя полученными значениями расположено 5 целых чисел:

√63

  • √64 = 8
  • √81 = 9
  • √100 = 10
  • √121 = 11
  • √144 = 12

√147

Ответ:

5 целых чисел


  1. На графике изображена зависимость атмосферного давления от высоты над уровнем моря. На горизонтальной оси отмечена высота над уровнем моря в километрах, на вертикальной — давление в миллиметрах ртутного столба. Определите по графику, на какой высоте атмосферное давление равно 720 миллиметрам ртутного столба. Ответ дайте в километрах.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-2-variant-02

Решение

Найдем на графике линию соответствующую атмосферному давлению 720 миллиметров ртутного столба.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-3-variant-02

Отпустим от точки пересечения этой прямой с графиком зависимости прямую на горизонтальную ось. Искомая величина = 0,5 км.

Ответ:

0,5


  1. Найдите корень уравнения

    \[ \frac{6}{x + 8} = -\frac{3}{4} \]

Решение

    \[ \frac{6}{x + 8} = -\frac{3}{4} \]

    \[ 6 * (-4) = (x + 8) * 3 \]

    \[ -24 = 3x + 24 \]

    \[ -24 - 24 = 3x \]

    \[ 3x = -48 \]

    \[ x = -48 : 3 = -16 \]

Ответ:

-16


  1. За 21 минуту велосипедист проехал 7 километров. Сколько километров он проедет за 27 минут, если будет ехать с такой же скоростью?
Решение

Решим данную задачу методом пропорции:

21 мин = 7 км

27 мин = х

    \[ x = \frac{27 * 7}{21} = \frac{27 * 1}{3} = 9 \]

Велосипедист проедет 9 километров за 27 минут

Ответ:

9


  1. Какая из следующих круговых диаграмм показывает распределение грибов в лесу, если белых грибов примерно 21%, мухоморов — примерно 39%, лисичек — примерно 6%, сыроежек — примерно 16% и других грибов — примерно 18%?

OGE-mat-9-klass-2019-14var-3-variant-03

Решение

Итак, перед нами круги. Каждый круг составляет 360°, что в свою очередь составляет 100%.

Так как у нас нет транспортира, мы будем делать приблизительные измерения, а также пользоваться методом исключения.

1) на второй круговой диаграмме показано количество мухоморов почт 50%, что не соответсвует условию — номер 2 отпадает

2) на четвёртой круговой диаграмме показано содержание мухоморов и лисичек по четверти круга каждого вида грибов (~25%), что также не соответсвует условию задачи — номер 4 отпадает

3) на первой и третьей круговых диаграммах содержание белых грибов, мухоморов и лисичек примерно одинаковое и соответсвует условию задачи. Однако, содержание сыроежек резко отличается:

  • на первой диаграмме их количество составляет более четверти круга — больше 25%
  • а на второй диаграмме их количество соответствует условию

Содержание других грибов на третьей круговой диаграмме также соответствует условию.

Ответ:

3


  1. За круглый стол на 11 стульев в случайном порядке рассаживаются 9 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки окажутся на соседних местах.
Решение

Способ 1:

9 + 2 = 11 — всего человек.

Пусть первой за стол сядет девочка, тогда рядом с ней есть два места, на каждое из которых претендует 10 человек, из которых только одна девочка. Таким образом, вероятность того, что девочки будут сидеть рядом равна

    \[ 2 : \frac{1}{10} = \frac{1}{5} = 0,2\]

Способ 2:

9 + 2 = 11 — всего человек.

Тогда, общее число способов рассадить 11 человек по одиннадцати стульям равняется — 11!

Благоприятным является случай, когда на «первом» стуле сидит «первая» девочка, на соседнем справа сидит «вторая» девочка, а на остальных семи стульях произвольным образом рассажены мальчики.

Поскольку выбрать «первую» девочку можно двумя способами, количество таких исходов равно

2 * 9!

А так как «первым» стулом может быть любой из одиннадцати стульев (стулья стоят по кругу), количество благоприятных исходов нужно умножить на 11. Таким образом, вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом, равна

    \[ 11 * \frac{2 * 1 * 9!}{11!} = 11 * \frac{2 * 1}{10 * 11} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 0,2\]

Способ 3:

Известно, что расположить n различных объектов по n расположенным по кругу местам вычисляется по формуле:

(n − 1)!

Поэтому посадить за круглым столом 11 детей можно (n − 1)! = (11 − 1)! = 10! способами.

Объединим двух девочек в пару.

Рассадить по кругу 9 мальчиков и эту неделимую пару можно 9! способами.

Таким образом, посадить детей требуемым способом можно 2 · 9! способами. Отсюда искомая вероятность будет равна:

    \[ \frac{2 * 9!}{10!} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 0,2\]

Ответ:

0,2


  1. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Формулы:

1)

    \[ y = \frac{1}{2}x   \]

2)  

    \[ y = 2 - x^2   \]

3)  

    \[ y = \sqrt{x} \]

Графики:

OGE-mat-9-klass-2019-14var-3-variant-04

В таблице под каждой буквой укажите соответсвующий номер.

Решение
  1. Изображённая на рисунке А прямая соответствует функции 1, поскольку это линейная функция. Выполним проверку: a) при х = 0,  y = 1/2 * 0 = 0; б) при х = 1, y = 1/2 * 1 = 0,5.
  2. Изображённая на рисунке Б кривая — это уже давно нам известный график квадратного корня из х, которому соответсвует функция 3. Он не имеет отрицательных значений, поскольку при x < 0, данная функция не имеет смысла.
  3. Графику В соответсвует функция 2, поскольку функция представлена квадратным уравнением, а значит: график является параболой, ветви которой направлены вниз, учитывая отрицательное значение коэффициента «а» (-1). Выполним проверку: a) при х = 0,  y = 2 — 02 = 2; б) при х = 2,  y = 2 — 22 = -2. Что и требовалось доказать.

Ответ:

А — 1 ; Б — 3 ; В — 2


  1. Дана арифметическая прогрессия (an) в которой:

a9 = -11,5,  a24 = -22.

Найдите разность прогрессии.

Решение

Формула арифметической прогрессии:

    \[ a_{n+1} = a_n + d   \]

где d — это разность арифметической прогрессии

Отсюда:

    \[ a_{24} = a_{9} + 15d   \]

    \[ -22 = -11,5 + 15d   \]

    \[ -22 + 11,5 = 15d   \]

    \[ -10,5 = 15d   \]

    \[ d = \frac{-10,5}{15} =  -\frac{10,5}{15}  = -0,7\]

Ответ:

— 0,7


  1. Найдите значение выражения

    \[ \frac{8}{x} - \frac{4}{5x} \]

при

    \[  x = 1,6  \]

Решение

Приведём дроби к общему знаменателю и выполним вычисление:

    \[ \frac{8}{x} - \frac{4}{5x}  = \frac{8 * 5}{x * 5} - \frac{4}{5x}  = \frac{40 - 4}{5x} = \frac{36}{5x} \]

Подставим значение х в полученное выражение:

    \[ \frac{36}{5x} = \frac{36}{5 * (1,6)} = \frac{36}{8} = 4,5 \]

Ответ:

4,5


  1. Высота деревянного стеллажа для книг равна h = (a + b) * n + a миллиметров, где a — толщина одной доски (в мм), b — высота одной полки (в мм), n — число таких полок. Найдите высоту книжного стеллажа из 5 полок, если a = 26 мм, b = 330 мм. Ответ выразите в миллиметрах.
Решение

Исходная формула

    \[ h = (a + b) * n + a \]

По условию задачи известно:

n = 5
a = 26 мм
b = 330 мм

Подставим значения в формулу:

    \[ h = (a + b) * n + a = (26 + 330) * 5 + 26 = 356 * 5 + 26 = 1780 + 26 = 1806 \]

Высота книжного стеллажа из 5 полок = 1806 мм

Ответ:

1806 мм


  1. Укажите неравенство, которое не имеет решений.

1) x2 — 3x — 11 < 0

2) x2 — 3x + 11 < 0

3) x2 — 3x + 11 > 0

4) x2 — 3x — 11 > 0

Решение

Итак, имеем две функции x2 — 3x + 11 и x2 — 3x — 11. Графиками этих функций являются параболы. Для наглядности мы воспользовались сервисом построения графиков.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-3-variant-05

Известно, что если парабола пересекает ось Х, то значит функция может принимать и положительные и отрицательные значения (быть  >0, и <0).

Чтобы неравенство не имело решений, парабола НЕ должна пересекать ось Х (необходимое, но не достаточное условие).

Без построения графика, узнать что парабола не пересекает ось Х, мы можем с помощью определения дискриминанта. Если дискриминант квадратного уравнения меньше нуля — у квадратной функции нет корней.

Найдем дискриминанты для обеих функций.

x2 — 3x — 11

a=1, b=-3, c=-11

D = b2— 4ac = (-3)2— 4 * 1 * (-11) = 9 + 44 = 53

Дискриминант положительный — данная функция имеет два корня и пересекает ось Х. Следовательно, данная функция может принимать положительные и отрицательные значения. Отсюда неравенства 1) и 4) имеют решения.

Найдем дискриминант второй функции.

x2 — 3x + 11

a=1, b=-3, c=11

D = b2— 4ac = (-3)2— 4 * 1 * 11 = 9 — 44 = -35

Дискриминант отрицательный, т.е. данное уравнение не имеет корней, а график данной функции не пересекает ось Х.

В данной функции аргумент а=1 (положительный), следовательно, ветви параболы направлены вверх.

График данной функции полностью располагается над осью Х. Следовательно, функция принимает только положительные значения.

Получается, что неравенство под пунктом 2) x2 — 3x + 11 < 0 — не имеет решений.

Ответ:
2


Модуль «Геометрия»


  1. Найдите периметр участка земли прямоугольной формы, площадь которого равна 3200 м2, а одна сторона в 2 раза больше другой. Ответ дайте в метрах?
Решение

Пусть x — одна сторона прямоугольника

Тогда x * 2 — вторая сторона прямоугольника

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле:

    \[ S = a * b \]

Отсюда:

    \[ 3200 = x * 2x = 2x^2 \]

    \[ 3200 : 2 = x^2\]

    \[ 1600 = x^2 \]

    \[ x= \sqrt{1600} = 40\]

Первая сторона a = 40 м

Вторая сторона b = 40 * 2 = 80 м

Периметр прямоугольника равен:

    \[ P = 2 * (a + b) \]

Отсюда:

    \[ P = 2 * (40 + 80) = 2 * 120 = 240 \]

Ответ:

240 метров


  1. На стороне AC  треугольника ∆ABC отмечена точка D так, что AD = 2, DC = 13. Площадь треугольника ∆ABC равна 75. Найдите площадь треугольника ∆ABD.
Решение

Построим треугольник согласно условию:

OGE-mat-9-klass-2019-14var-2-variant-07

Площадь треугольника вычисляется по формуле:

    \[ S = \frac{1}{2} * ah \]

где,

a — длина основания
h — высота треугольника

По условию задачи известно, что

  • площадь треугольника ∆ABC = 75
  • AD = 2, DC = 13

Отсюда

    \[ a = AD + DC = 2 + 13 = 15 \]

    \[ h = BH \]

Тогда формула площади треугольника примет вид

    \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} * ah = \frac{1}{2} * 15 * BH = 75 \]

    \[ \frac{1}{2} * 15 * BH = 75 \]

    \[ BH = \frac{75 * 2}{15} = 10 \]

Так как высота у треугольников ∆ABC и ∆ABD общая и равна BH, то площадь треугольника ∆ABD будет равна

    \[ S_{ABD} = \frac{1}{2} * ah = \frac{1}{2} * AD * BH = \frac{1}{2} * 2 * 10 = \frac{20}{2} = 10 \]

Ответ:

Площадь треугольника ∆ABD равна 10


  1. Сторона равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-2-variant-08

Решение

Выполним некоторые обозначения на нашем рисунке:

OGE-mat-9-klass-2019-14var-2-variant-09

Обозначим наш треугольник, как ∆ABC

По условию задачи, треугольник равносторонний, а значит:

AB = BC = AC = 12√3

Известно, что в равностороннем треугольнике медиана, биссектриса и высота совпадают.

Определение: Центр равностороннего треугольника является центром вписанной и описанной окружностей.

Таким образом, AO = BO = CO = R — радиус окружности.

Определение: В равностороннем треугольнике все углы равны 180° : 3 = 60°

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆ABH.

По условию задачи нам известно, что AB = 12√3

AH = AC : 2 = 12√3 : 2 = 6√3

Используя теорему Пифагора, найдем чему равна сторона BH

Определение: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

    \[ a^2 + b^2 = c^2 \]

    \[ AH^2 + BH^2 = AB^2 \]

Отсюда

    \[ BH^2 = AB^2 - AH^2 = (12\sqrt{3})^2 - (6\sqrt{3} )^2 = 144 * 3 - 36 * 3 = 432 - 108 = 324 \]

    \[ BH = \sqrt{324} = 18 \]

Определение: Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины.

Отсюда

    \[ BO = \frac{2}{3} BH = \frac{2}{3} 18 = 12 \]

Ответ:

Радиус окружности равен 12


  1. В параллелограмме ABCD угол A равен 61°. Найдите величину угла D. Ответ дайте в градусах.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-2-variant-10

Решение

Определение: Углы, прилежащие к любой стороне параллелограмма, в сумме равны 180°

Отсюда

∠A + ∠D = 180°

61° + ∠D = 180°

∠D = 180° — 61°  = 119°

Ответ:

Величина угла D = 119°


  1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 отмечены три точки A, B и C. Найдите расстояние от точки А до прямой BC

OGE-mat-9-klass-2019-14var-3-variant-06

Решение

Из рисунка видно, что от точки А до прямой BC — 1 клетка

OGE-mat-9-klass-2019-14var-3-variant-07

Ответ:

1


  1. Какое из следующих утверждений верно?
  1. Боковые стороны любой трапеции равны.
  2. Площадь ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.
  3. Всякий равнобедренный треугольник является остроугольным.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Данное задание не является задачей. Вопросы, перечисленные здесь необходимо знать наизусть и уметь на них отвечать.

  1. Неверно — боковые стороны у трапеции могут отличаться друг от друга.
  2. Верно — это одна из формул площади ромба
  3. Неверно — равнобедренный треугольник может быть и тупоугольным

Ответ:

2


Часть 2

Модуль «Алгебра»


  1. Решите систему уравнений

    \[ \left\{\begin{matrix} x^2 + y^2 = 65\\ xy = 8 \end{matrix}\right.  \]

Решение

    \[ \left\{\begin{matrix} x^2 + y^2 = 65\\ xy = 8 \end{matrix}\right.  \]

Найдем чему равен x из второго уравнения

xy = 8

x = 8/y

Подставим результат в первое уравнение

    \[ x^2 + y^2 = 65 \]

    \[ (\frac{8}{y})^2 + y^2 = 65 \]

    \[ \frac{64}{y^2} + y^2 = 65 \]

Умножим все части на y2

    \[ \frac{64}{y^2}*y^2 + y^4 = 65y^2 \]

    \[ 64 +y^4 = 65y^2 \]

    \[ y^4 - 65y^2 + 64 = 0 \]

Пусть t = x2

Тогда получаем квадратное уравнение:

    \[ t^2 - 65t + 64 = 0 \]

Найдем дискриминант:

a=1, b=-65, c=64

D = b2— 4ac = (-65)2— 4 * 1 * 64 = 4225 — 256 = 3969

Дискриминант положительный — данная функция имеет два корня

Найдем корни уравнения:

    \[t = \frac{ -b \pm \sqrt{D} }{2a }\]

    \[ t_1 = \frac{ -(-65) + 63 }{2 * 1}\]

    \[ t_1 = \frac{128}{2} = 64\]

    \[ t_1 = 64 \]

    \[ t_2 = \frac{ -(-65) - 63 }{2 * 1}\]

    \[ t_2 = \frac{2}{2} = 1\]

    \[ t_2 = 1 \]

Так как изначально выполнили замену:  t = x2, то теперь определим чему равен х:

    \[ x_1 = \sqrt{t_1} = \sqrt{64} = 8  \]

    \[ x_2 = \sqrt{t_2} = \sqrt{1} = 1  \]

Вернёмся к первоначальной системе:

    \[ \left\{\begin{matrix} x^2 + y^2 = 65\\ xy = 8 \end{matrix}\right.  \]

Как видим, что x, что y могут принимать полученные значения. Кроме того, то полученные корни могут принимать как отрицательное, так и положительное значения, поскольку в первом уравнении оба неизвестных возводятся в квадрат, а во втором уравнении плюс на плюс и минус на минус в любом случае дают одинаковый результат.

Вы легко это можете это проверить подставляя полученные корни в данные уравнения.

Значит, решение исходной системы:

(1; 8), (-1; -8)

(8; 1); (-8; -1).

Ответ:

(1; 8), (-1; -8)

(8; 1); (-8; -1).


  1. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 141 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении по платформе со скоростью 6 км/ч, за 12 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
Решение

Преобразуем секунды в часы

12 секунд = 12 : 60 : 60

141 — 6 = 135 (км/ч) — разница между скоростью поезда и пешехода.

135 * 12 : 60 : 60 = 0,45 (км) = 450 метров — длина поезда

Ответ:

450 метров


  1. Постройте график функции y = x | x | — | x | — 6x  и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две точки.
Решение

y = x | x | — | x | — 6x

Заданная функция имеет модуль, поэтому разложим данную функцию на две подфункции, в зависимости от значения модуля:

  • y = x2 — x — 6x, при x≥0
  • y = -x2 — (-x) — 6x, при x<0

или

  • y = x2 — x — 6x  = x2 — 7x, при x≥0
  • y = -x2 + x — 6x = —x2 — 5x , при x<0

Построим график для обеих функций

OGE-mat-9-klass-2019-14var-3-variant-08

На графике видно, что обе функции являются параболами. Ветви первой параболы направлены вверх (поскольку коэффициент «а» больше нуля). Ветви второй параболы направлены вниз (поскольку коэффициент «а» меньше нуля).

Первая функция представлена на графике красным цветом, а вторая функция — зеленым.

Фиолетовым цветом изображена функция y=m (при m=6.25 и -12,25).

Так как у обеих функций коэффициент с=0, то их общей границей является начало координат. График функции y = x | x | — | x | — 6x отображён пунктиром.

На графике хорошо видно, что между вершинами обеих парабол функция y=m будет иметь от двух до трёх пересечений.

Из графика видно, что функция y=m имеет с графиком ровно две точки пересечения только в вершинах парабол.

Найдём значение вершин у обеих парабол:

Вершина параболы y = x2 — 7x:

x0 = -b/2a = -(-7)/2 = 7/2 = 3,5

y0 = x2 — 7x = 3,52 — 7 * 3,5 = 2,25 — 4,5 = -12,25

Вершина параболы y = -x2 — 5x:

x0 = -b/2a = -(-5)/ (2*(-1)) = 5/-2 = -2,5

y0 = -x2 — 5x = -(-2,5)2 — 5 * (-2,5) = -6,25 + 12,5 = 6,25

y=m имеет с графиком ровно две точки в точках: -12,25 и 6,5

Ответ:

-12,25 и 6,5


  1. Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ∆ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 6, AC = 24.
Решение

Построим чертёж согласно условию задачи:

OGE-mat-9-klass-2019-14var-2-variant-14

 

Так как высота BH является общей высотой для двух треугольников ∆ABC и ∆ABН, то эти треугольники подобны по определению.

Исходя из этого, справедливым будет следующее равенство отношения сторон данных треугольников:

    \[ \frac{AB}{AC} = \frac{AH}{AB} \]

    \[ AB * AB = AC * AH \]

    \[ AB^2 = 24 * 6 = 144 \]

    \[ AB = \sqrt{144} = 12 \]

Искомая величина AB = 12

Ответ:

AB = 12


  1. Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники ∆MBC и ∆MDA подобны.
Решение

Выполним чертёж, согласно заданного условия:

OGE-mat-9-klass-2019-14var-3-variant-09

Определение: четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180°

Следовательно суммы противоположных углов четырёхугольника будут равны:

∠BCD + ∠DAB = ∠4 + ∠3 = 180°

∠ABC + ∠CDA = ∠2 + ∠1 = 180°

Углы ∠CBM и ∠ABC образуют развёрнутый угол, значит их сумма равна 180°

∠CBM + ∠ABC = ∠5 + ∠2 = 180°

Углы ∠MCB и ∠BCD также образуют развёрнутый угол, значит их сумма равна 180°

∠MCB + ∠BCD = ∠6 + ∠4 = 180°

Из перечисленных равенств получаем

∠4 + ∠3 = 180° , а ∠6 + ∠4 = 180°, значит

∠4 + ∠3 = ∠6 + ∠4

∠3 = ∠6

Кроме того

∠2 + ∠1 = 180° , а ∠5 + ∠2 = 180°, значит

∠2 + ∠1 = ∠5 + ∠2

∠1 = ∠5

То есть, углы ∠DAB (∠3) и ∠MCB (∠6) равны и углы ∠CDA (∠1) и ∠CBM (∠5) также равны.

Рассмотрим треугольники: ∆MBC и ∆MDA

Из вышеперечисленного получаем, что оба треугольника имеют%

  • один общий угол ∠M
  • углы ∠DAB (∠3) и ∠MCB (∠6) равны
  • углы ∠CDA (∠1) и ∠CBM (∠5) также равны

следовательно треугольники подобны.


  1. Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 8 и 6, а средняя линия равна 5.
Решение

Выполним чертёж, согласно заданного условия:

OGE-mat-9-klass-2019-14var-2-variant-16

Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму оснований:

    \[ S_{ABCD} = h * \frac{BC + AD}{2} \]

где, (BC + AD)/2 — это полусумма оснований EF (по условию задачи равна 5). Получаем:

    \[ S_{ABCD} = h * EF = h * 5  \]

Итак, чтобы найти площадь трапеции, нам необходимо найти ее высоту h.

Выполним ряд преобразований с нашим чертежом.

Продлим основание AD из точки D (вправо).

Проведём прямую из вершины C до основания AD так, чтобы данная прямая оказалась параллельной диагонали BD. Точку пересечения данной прямой с основанием AD обозначим через M (как показано на рисунке).

В четырехугольнике BCMD сторона CM || BD (по построению) и DM || BC (по определению трапеции)

Следовательно, четырехугольник BCMD является параллелограммом, поскольку его противоположные стороны параллельны.

Тогда, по свойству параллелограмма, DM = BC.

Найдем длину AM

AM = AD + DM = AD + BC

По условию задачи нам известна величина средней линии — 5. А мы помним, что средняя линия равна полусумме оснований. Отсюда

AM = AD + DM = AD + BC = 5 * 2 = 10

Рассмотрим треугольник ∆ACM.

Нам известны длины всех его сторон:

  • AC = 8
  • CM = BD = 6
  • AM = 10

Зная длины всех сторон треугольника, можно найти его площадь через полупериметр.

Определение: Если известны длины всех сторон треугольника, то для вычисления площади треугольника удобно пользоваться формулой Герона

    \[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]

где p — полупериметр

    \[ p = \frac{a + b + c}{2} \]

отсюда

    \[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{AC + CM + AM}{2} = \frac{8 + 6 + 10}{2} = \frac{24}{2} = 12 \]

    \[ S_{ACM} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{12 * (12 - 8)(12 - 6)(12 - 10)} =\]

    \[ = \sqrt{12 * 4 * 6 * 2} = \sqrt{576} =24 \]

Чтобы найти высоту треугольника, прибегнем к другой формуле нахождения площади треугольника (через высоту):

    \[ S_{ACM} = h \frac{a}{2} = h \frac{AM}{2} = h \frac{10}{2} =24\]

Найдём из этой формулы, чему равна высота:

    \[ h \frac{10}{2} =24\]

    \[ 10h =24 * 2 = 48\]

    \[ h = 48 : 10 = 4,8\]

Высота треугольника ∆ACM равна 4,8.

Высота трапеции ABCD также равна 4,8.

Подставим значение высоты в первую формулу

    \[ S_{ABCD} = h * EF = h * 5  = 4,8 * 5 = 24\]

Площадь трапеции ABCD равна 24

Ответ:

24