Меню Закрыть

ОГЭ по математике 2019. ТТЗ Ященко. 14 вариантов. Вариант 2

ОГЭ по математике 9 класс 2019 года под редакцией И. В. Ященко (14 вариантов) — Вариант 2

При написании данной работы «ОГЭ по математике 2019. ТТЗ Ященко. 14 вариантов. Вариант 2» было использовано пособие «ОГЭ 2019. Математика. 14 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ОГЭ  И. Р. Высоцкий, Л. О. Рослова, Л. В. Кузнецова, В. А. Смирнов, А. В. Хачатурян, С. А. Шестаков, Р. К. Гордин, А. С. Трепалин, А. В. Семенов, П. И. Захаров; под редакцией И. В. Ященко. — М.: Издательство «Экзамен», МЦНМО, 2019″.

Часть 1

Модуль «Алгебра»


  1. Найдите значение выражения -3 * (-3,9) — 9,6
Решение

-3 * (-3,9) * 9,6 = 11,7 — 9,6 = 2,1

Ответ:

2,1


  1. В таблице дано соответствие размеров женских платьев в Белоруссии, России, Англии и Европейском Союзе.
Белоруссия 80 84 88 92 96 100 104 108 112 116
Россия 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58
Англия 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Европейский Союз 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52

Какому российскому размеру соответсвует 44-й размер платья в Европейском Союзу?

  1. 38
  2. 88
  3. 50
  4. 16
Решение

Итак, из таблицы имеем, что 44-му размеру в Европейском Союзе соответствует 50-ый размер в России

Ответ:

3


  1. На координатной прямой отмечены точки A, B, C и D.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-2-variant-01

Одна из них соответствует числу 80/11. Какая это точка?

  1. точка A
  2. точка B
  3. точка C
  4. точка D
Решение

Преобразуем дробь:

80/11 = 7,27

Даная величина соответсвует точке А на координатной прямой.

Ответ:

1


  1. Сколько целых чисел расположено между 5√7 и 7√5?
Решение

Преобразуем представленные числа:

5√7 =√25√7 = √(25 * 7) = √175

7√5 = √49√5 = √(49 * 5) = √245

Для удобства воспользуемся таблицей квадратов двузначных чисел.

Как видим, между двумя полученными значениями расположено только два целых числа:

  • √196 = 14
  • √225 = 15

Ответ:

2 целых числа


  1. На графике изображена зависимость атмосферного давления от высоты над уровнем моря. На горизонтальной оси отмечена высота над уровнем моря в километрах, на вертикальной — давление в миллиметрах ртутного столба. Определите по графику, на какой высоте атмосферное давление равно 620 миллиметрам ртутного столба. Ответ дайте в километрах.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-2-variant-02

Решение

Найдем на графике линию соответствующую атмосферному давлению 620 миллиметров ртутного столба.

Отпустим от точки пересечения этой прямой с графиком зависимости прямую на горизонтальную ось. Искомая величина = 1,5 км.

Ответ:

1,5


  1. Найдите корень уравнения

    \[ \frac{12}{x + 5} = -\frac{12}{5} \]

Решение

    \[ \frac{12}{x + 5} = -\frac{12}{5} \]

    \[ \frac{12 * 5}{x + 5} = -12 \]

    \[ \frac{60}{x + 5} = -12 \]

    \[ 60 = -12 * (x + 5) \]

    \[ 60 = -12x - 60 \]

    \[ 12x = -60 - 60 = -120 \]

    \[ x = -120 / 12 = -10 \]

Ответ:

-10


  1. За 21 минуту велосипедист проехал 4,5 километра. Сколько километров он проедет за 28 минут, если будет ехать с такой же скоростью?
Решение

Способ 1: 

4,5 / 21 = ~0,2143 (км) — велосипедист проезжал за 1 минуту

0,2143 * 28 = ~6 (км) — проедет велосипедист за 28 минут

Как видим, наши вычисления дают погрешность.

Способ 2: вычисление без погрешности

28 — 21 = 7 (мин) — разница между затраченным временем на прохождение 4,5 км и 28 минутами

Как видим 7 минут — это ровно 1/3 часть (21 / 7 = 3) от первоначально затраченного времени (21 минуты)

За 7 минут велосипедист проезжает:

4,5 / 3 = 1,5 (км)

В таком случае, мы легко можем найти, сколько велосипедист проедет за 28 минут

28 / 7 = 4

1,5 * 4 = 6

или

4,5 + 1,5 = 6

Как видим, данный способ вычисления выполняется без погрешностей.

Ответ:

6


  1. Какая из следующих круговых диаграмм показывает распределение грибов в лесу, если белых грибов примерно 16%, мухоморов — примерно 33%, лисичек — примерно 14%, сыроежек — примерно 26% и других грибов — примерно 11%?

OGE-mat-9-klass-2019-14var-2-variant-04

Решение

Итак, перед нами круги. Каждый круг составляет 360°, что в свою очередь составляет 100%.

Так как у нас нет транспортира, мы будем делать приблизительные измерения, а также пользоваться методом исключения.

По условию задачи, количество сыроежек в лесу составляет примерно 26% — это по сути 1/4 часть от 100%

100 / 4 = 25% — 1/4 часть

Из всех представленных кругов, только во втором круге содержание сыроежек изображено в виде сектора размеров в четверть круга.

1) и 4) круги имеют слишком маленькие сектора, отображающие количество сыроежек. А в 3) круги этот сектор чуть меньше 90°, т.е. меньше 1/4 круга.

Для достоверности, можно сделать еще одно вычисление. На 2) диаграмме мы видим, что суммарное содержание мухоморов и белых грибов составляет почти половину круга.

Суммируем их процентное содержание исходя из условия задачи:

16 + 33 = 49%

На всех остальных диаграммах их суммарное содержание, даже приблизительно не составляет половину круга.

Ответ:

2


  1. За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки окажутся на соседних местах.
Решение

Способ 1:

7 + 2 = 9 — всего человек.

Пусть первой за стол сядет девочка, тогда рядом с ней есть два места, на каждое из которых претендует 8 человек, из которых только одна девочка. Таким образом, вероятность того, что девочки будут сидеть рядом равна

    \[ 2 : \frac{1}{8} = \frac{1}{4} = 0,25\]

Способ 2:

7 + 2 = 9 — всего человек.

Тогда, общее число способов рассадить 9 человек по девяти стульям равняется — 9!

Благоприятным является случай, когда на «первом» стуле сидит «первая» девочка, на соседнем справа сидит «вторая» девочка, а на остальных семи стульях произвольным образом рассажены мальчики.

Поскольку выбрать «первую» девочку можно двумя способами, количество таких исходов равно

2 * 7!

А так как «первым» стулом может быть любой из девяти стульев (стулья стоят по кругу), количество благоприятных исходов нужно умножить на 9. Таким образом, вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом, равна

    \[ 9 * \frac{2 * 1 * 7!}{9!} = 9 * \frac{2 * 1}{8 * 9} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = 0,25\]

Способ 3:

Известно, что расположить n различных объектов по n расположенным по кругу местам вычисляется по формуле:

(n − 1)!

Поэтому посадить за круглым столом 9 детей можно (n − 1)! = (9 − 1)! = 8! способами.

Объединим двух девочек в пару.

Рассадить по кругу 7 мальчиков и эту неделимую пару можно 7! способами.

Таким образом, посадить детей требуемым способом можно 2 · 7! способами. Отсюда искомая вероятность будет равна:

    \[ \frac{2 * 7!}{8!} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = 0,25\]

Ответ:

0,25


  1. Установите соответствие между функциями и их графиками.

Функции:

1)

    \[ y = \frac{6}{x}   \]

2)  

    \[ y = -2x + 4   \]

3)  

    \[ y = -2x^2 \]

Графики:

OGE-mat-9-klass-2019-14var-2-variant-05

В таблице под каждой буквой укажите соответсвующий номер.

Решение
  1. Изображённая на рисунке А гипербола, расположена в первой и третьей четвертях, следовательно, данному графику может соответствовать функция 1. Выполним проверку: a) при х = -10,  y = 6/-10 = -0,6; б) при х = -3,  y = 6/-3 = -2; в) при х = -0.5,  y = 6/-0.5 = -12; г) при х = 0.5,  y = 6/0.5 = 12; д) при х = 3,  y = 6/3 = 2; е) при х = 10,  y = 6/10 = 0.6.  Что и требовалось доказать.
  2. Изображённая на рисунке Б парабола расположена ниже оси х и её ветви направлены вниз. Данному графику соответсвует функция 3), поскольку это функция параболы, учитывая отрицательное значение коэффициента «а» (-2) — её ветви направлены вниз. Выполним проверку: a) при х = -2,  y = -2 * (-2)2 = -8; б) при х = 0,  y = -2 * 02 = 0; ; в) при х = 2,  y = -2 * 22 = -8. Что и требовалось доказать.
  3. Изображённая на рисунке В прямая соответствует функции 2. Выполним проверку: a) при х = 0,  y = -2 * 0 +4 = 4; б) при х = 2, y = -2 * 2 +4 = 0.

Ответ:

А — 1 ; Б — 3 ; В — 2


  1. Дана арифметическая прогрессия (an) в которой:

a10 = -10,  a16 = -19.

Найдите разность прогрессии.

Решение

Формула арифметической прогрессии:

    \[ a_{n+1} = a_n + d   \]

где d — это разность арифметической прогрессии

Отсюда:

    \[ a_{16} = a_{10} + 6d   \]

    \[ -19 = -10 + 6d   \]

    \[ -19 + 10 = 6d   \]

    \[ -9 = 6d   \]

    \[ d = \frac{-9}{6} =  -\frac{3}{2}  = -1\frac{1}{2} = - 1,5\]

Ответ:

— 1,5


  1. Найдите значение выражения

    \[ \frac{7}{x} - \frac{1}{5x} \]

при

    \[  x = -0,8  \]

Решение

Приведём дроби к общему знаменателю и выполним вычисление:

    \[ \frac{7}{x} - \frac{1}{5x} = \frac{7 * 5}{x * 5} - \frac{1}{5x} = \frac{35}{5x} - \frac{1}{5x} = \frac{34}{5x} \]

Подставим значение х в полученное выражение:

    \[ \frac{34}{5x} = \frac{34}{5 * (-0,8)} = \frac{34}{-4} = -8,5 \]

Ответ:

-8,5


  1. Высота деревянного стеллажа для книг равна h = (a + b) * n + a миллиметров, где a — толщина одной доски (в мм), b — высота одной полки (в мм), n — число таких полок. Найдите высоту книжного стеллажа из 9 полок, если a = 18 мм, b = 280 мм. Ответ выразите в миллиметрах.
Решение

Исходная формула

    \[ h = (a + b) * n + a \]

По условию задачи известно:

n = 9
a = 18 мм
b = 280 мм

Подставим значения в формулу:

    \[ h = (a + b) * n + a = (18 + 280) * 9 + 18 = 298 * 9 + 18 = 2682 + 18 = 2700 \]

Высота книжного стеллажа из 9 полок = 2700 мм

Ответ:

2700 мм


  1. Укажите неравенство, которое не имеет решений.

1) x2 + x + 36 < 0

2) x2 + x — 36 > 0

3) x2 + x + 36 > 0

4) x2 + x — 36 < 0

Решение

Итак, имеем две функции x2 + x — 36 и x2 + x + 36. Графиками этих функций являются параболы. Для наглядности мы воспользовались сервисом построения графиков.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-2-variant-06

Известно, что если парабола пересекает ось Х, то значит функция может принимать и положительные и отрицательные значения (быть  >0, и <0).

Чтобы неравенство не имело решений, парабола НЕ должна пересекать ось Х (необходимое, но не достаточное условие).

Без построения графика, узнать что парабола не пересекает ось Х, мы можем с помощью определения дискриминанта. Если дискриминант квадратного уравнения меньше нуля — у квадратной функции нет корней.

Найдем дискриминанты для обеих функций.

x2 + x — 36

a=1, b=1, c=-36

D = b2— 4ac = 12— 4 * 1 * (-36) = 1 + 144 = 145

Дискриминант положительный — данная функция имеет два корня и пересекает ось Х. Следовательно, данная функция может принимать положительные и отрицательные значения. Отсюда неравенства 2) и 4) имеют решения.

Найдем дискриминант второй функции.

x2 + x + 36

a=1, b=1, c=36

D = b2— 4ac = 12— 4 * 1 * 36 = 1 — 144 = — 143

Дискриминант отрицательный, т.е. данное уравнение не имеет корней, а график данной функции не пересекает ось Х.

В данной функции аргумент а=1 (положительный), следовательно, ветви параболы направлены вверх.

График данной функции полностью располагается над осью Х. Следовательно, функция принимает только положительные значения.

Получается, что неравенство под пунктом 1) x2 + x + 36 < 0 — не имеет решений.

Ответ:
1


Модуль «Геометрия»


  1. Найдите периметр участка земли прямоугольной формы, площадь которого равна 2700 м2, а одна сторона в 3 раза больше другой. Ответ дайте в метрах?
Решение

Пусть x — одна сторона прямоугольника

Тогда x * 3 — вторая сторона прямоугольника

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле:

    \[ S = a * b \]

Отсюда:

    \[ 2700 = x * 3x = 3x^2 \]

    \[ 2700 : 3 = x^2\]

    \[ 900= x^2 \]

    \[ x= \sqrt{900} = 30\]

Первая сторона a = 30 м

Вторая сторона b = 30 * 3 = 90 м

Периметр прямоугольника равен:

    \[ P = 2 * (a + b) \]

Отсюда:

    \[ P = 2 * (30 + 90) = 2 * 120 = 240 \]

Ответ:

240 метров


  1. На стороне AC  треугольника ∆ABC отмечена точка D так, что AD = 6, DC = 8. Площадь треугольника ∆ABC равна 42. Найдите площадь треугольника ∆ABD.
Решение

Построим треугольник согласно условию:

OGE-mat-9-klass-2019-14var-2-variant-07

Площадь треугольника вычисляется по формуле:

    \[ S = \frac{1}{2} * ah \]

где,

a — длина основания
h — высота треугольника

По условию задачи известно, что

  • площадь треугольника ∆ABC = 42
  • AD = 6, DC = 8

Отсюда

    \[ a = AD + DC = 6 + 8 = 14 \]

    \[ h = BH \]

Тогда формула площади треугольника примет вид

    \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} * ah = \frac{1}{2} * 14 * BH = 42 \]

    \[ \frac{1}{2} * 14 * BH = 42 \]

    \[ BH = \frac{42 * 2}{14} = 6 \]

Так как высота у треугольников ∆ABC и ∆ABD общая и равна BH, то площадь треугольника ∆ABD будет равна

    \[ S_{ABD} = \frac{1}{2} * ah = \frac{1}{2} * AD * BH = \frac{1}{2} * 6 * 6 = \frac{36}{2} = 18 \]

Ответ:

Площадь треугольника ∆ABD равна 18


  1. Сторона равностороннего треугольника равна 20√3. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-2-variant-08

Решение

Выполним некоторые обозначения на нашем рисунке:

OGE-mat-9-klass-2019-14var-2-variant-09

Обозначим наш треугольник, как ∆ABC

По условию задачи, треугольник равносторонний, а значит:

AB = BC = AC = 20√3

Известно, что в равностороннем треугольнике медиана, биссектриса и высота совпадают.

Определение: Центр равностороннего треугольника является центром вписанной и описанной окружностей.

Таким образом, AO = BO = CO = R — радиус окружности.

Определение: В равностороннем треугольнике все углы равны 180° : 3 = 60°

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆ABH.

По условию задачи нам известно, что AB = 20√3

AH = AC : 2 = 20√3 : 2 = 10√3

Используя теорему Пифагора, найдем чему равна сторона BH

Определение: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

    \[ a^2 + b^2 = c^2 \]

    \[ AH^2 + BH^2 = AB^2 \]

Отсюда

    \[ BH^2 = AB^2 - AH^2 = (20\sqrt{3})^2 - (10\sqrt{3} )^2 = 400 * 3 - 100 * 3 = 1200 - 300 = 900 \]

    \[ BH = \sqrt{900} = 30 \]

Определение: Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины.

Отсюда

    \[ BO = \frac{2}{3} BH = \frac{2}{3} 30 = 20 \]

Ответ:

Радиус окружности равен 20


  1. В параллелограмме ABCD угол B равен 96°. Найдите величину угла С. Ответ дайте в градусах.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-2-variant-10

Решение

Определение: Углы, прилежащие к любой стороне, в сумме равны 180°

Отсюда

∠B + ∠С = 180°

96° + ∠С = 180°

∠С = 180° — 96°  = 84°

Ответ:

Величина угла С = 84°


  1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 отмечены три точки A, B и C. Найдите расстояние от точки А до прямой BC

OGE-mat-9-klass-2019-14var-2-variant-11

Решение

Из рисунка видно, что от точки А до прямой BC — 3 клетки

OGE-mat-9-klass-2019-14var-2-variant-12

Ответ:

3


  1. Какое из следующих утверждений верно?
  1. Боковые стороны любой трапеции равны.
  2. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в точке, являющейся центром окружности, описанной около треугольника.
  3. Если две стороны и угол одного треугольника равны соответсвенно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Данное задание не является задачей. Вопросы, перечисленные здесь необходимо знать наизусть и уметь на них отвечать.

  1. Неверно — боковые стороны у трапеции могут отличаться друг от друга.
  2. Верно — точка пересечения серединных перпендикуляров соответствует центру описанной вокруг треугольника окружности.
  3. Неверно — данное утверждение будет верным, только при условии, что речь идет именно об угле между сторонами, а не просто об угле. В данном случае треугольники просто — подобны.

Ответ:

2


Часть 2

Модуль «Алгебра»


  1. Решите систему уравнений

    \[ \left\{\begin{matrix} x^2 + y^2 = 50\\ xy = 7 \end{matrix}\right.  \]

Решение

    \[ \left\{\begin{matrix} x^2 + y^2 = 50\\ xy = 7 \end{matrix}\right.  \]

Найдем чему равен x из второго уравнения

xy = 7

x = 7/y

Подставим результат в первое уравнение

    \[ x^2 + y^2 = 50 \]

    \[ (\frac{7}{y})^2 + y^2 = 50 \]

    \[ \frac{49}{y^2} + y^2 = 50 \]

Умножим все части на y2

    \[ \frac{49}{y^2}*y^2 + y^4 = 50y^2 \]

    \[ 49 +y^4 = 50y^2 \]

    \[ y^4 - 50y^2 + 49 = 0 \]

Пусть t = x2

Тогда получаем квадратное уравнение:

    \[ t^2 - 50t + 49 = 0 \]

Найдем дискриминант:

a=1, b=-50, c=49

D = b2— 4ac = -502— 4 * 1 * 49 = 2500 — 196 = 2304

Дискриминант положительный — данная функция имеет два корня

Найдем корни уравнения:

    \[t = \frac{ -b \pm \sqrt{D} }{2a }\]

    \[ t_1 = \frac{ -(-50) + 48 }{2 * 1}\]

    \[ t_1 = \frac{98}{2} = 49\]

    \[ t_1 = 49 \]

    \[ t_2 = \frac{ -(-50) - 48 }{2 * 1}\]

    \[ t_2 = \frac{2}{2} = 1\]

    \[ t_2 = 1 \]

Так как изначально выполнили замену:  t = x2, то теперь определим чему равен х:

    \[ x_1 = \sqrt{t_1} = \sqrt{49} = 7  \]

    \[ x_2 = \sqrt{t_2} = \sqrt{1} = 1  \]

Вернёмся к первоначальной системе:

    \[ \left\{\begin{matrix} x^2 + y^2 = 50\\ xy = 7 \end{matrix}\right.  \]

Как видим, что x, что y могут принимать полученные значения. Кроме того, то полученные корни могут принимать как отрицательное, так и положительное значения, поскольку в первом уравнении оба неизвестных возводятся в квадрат, а во втором уравнении плюс на плюс и минус на минус в любом случае дают одинаковый результат.

Вы легко это можете это проверить подставляя полученные корни в данные уравнения.

Значит, решение исходной системы:

(1; 7), (-1; -7)

(7; 1); (-7; -1).

Ответ:

(1; 7), (-1; -7)

(7; 1); (-7; -1).


  1. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 86 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении по платформе со скоростью 6 км/ч, за 18 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
Решение

Преобразуем секунды в часы

18 секунд = 18 : 60 : 60 = 0,005 часов

86 — 6 = 80 (км/ч) — разница между скоростью поезда и пешехода.

80 * 0,005 = 0,4 (км) = 400 метров — длина поезда

Ответ:

400 метров


  1. Постройте график функции y = x | x | + 2 | x | — 5x  и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две точки.
Решение

y = x | x | + 2 | x | — 5x

Заданная функция имеет модуль, поэтому разложим данную функцию на две подфункции, в зависимости от значения модуля:

  • y = x2 + 2x — 5x, при x≥0
  • y = -x2 — 2x — 5x, при x<0

или

  • y = x2 + 2x — 5x = x2 — 3x, при x≥0
  • y = -x2 — 2x — 5x = —x2 — 7x , при x<0

Построим график для обеих функций

OGE-mat-9-klass-2019-14var-2-variant-13

На графике видно, что обе функции являются параболами. Ветви первой параболы направлены вверх (поскольку коэффициент «а» больше нуля). Ветви второй параболы направлены вниз (поскольку коэффициент «а» меньше нуля).

Первая функция представлена на графике красным цветом, а вторая функция — зеленым.

Фиолетовым цветом изображена функция y=m (при m=12.25 и -2,25).

Так как у обеих функций коэффициент с=0, то их общей границей является начало координат. График функции y = x | x | + 2 | x | — 5x отображён пунктиром.

На графике хорошо видно, что между вершинами обеих парабол функция y=m будет иметь от двух до трёх пересечений.

Выше вершины параболы, представленной функцией y = -x2 — 7x, прямая y=m будет иметь также одну точку пересечения.

Из графика видно, что функция y=m имеет с графиком ровно две точки пересечения только в вершинах парабол.

Найдём значение вершин у обеих парабол:

Вершина параболы y = x2 — 3x:

x0 = -b/2a = -(-3)/2 = 3/2 = 1,5

y0 = x2 — 3x = 1,52 — 3 * 1,5 = 2,25 — 4,5 = -2,25

Вершина параболы y = -x2 — 7x:

x0 = -b/2a = -(-7)/ (2*(-1)) = 7/-2 = -3,5

y0 = -x2 — 7x = -(3,5)2 — 7 * 3,5 = -12,25 + 24,5 = 12,25

y=m имеет с графиком ровно две точки в точках: -2,5 и 12,25

Ответ:

-2,5 ; 12,25


  1. Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ∆ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 5, AC = 20.
Решение

Построим чертёж согласно условию задачи:

OGE-mat-9-klass-2019-14var-2-variant-14

 

Так как высота BH является общей высотой для двух треугольников ∆ABC и ∆ABН, то эти треугольники подобны по определению.

Исходя из этого, справедливым будет следующее равенство отношения сторон данных треугольников:

    \[ \frac{AB}{AC} = \frac{AH}{AB} \]

    \[ AB * AB = AC * AH \]

    \[ AB^2 = 20 * 5 = 100 \]

    \[ AB = \sqrt{100} = 10 \]

Искомая величина AB = 10

Ответ:

AB = 10


  1. Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и BC четырёхугольника пересекаются в точке K. Докажите, что треугольники ∆KAB и ∆KCD подобны.
Решение

Выполним чертёж, согласно заданного условия:

OGE-mat-9-klass-2019-14var-2-variant-15

Определение: четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180°

Следовательно суммы противоположных углов четырёхугольника будут равны:

∠BCD + ∠DAB = 180°

∠ABC + ∠CDA = 180°

Углы ∠BAK и ∠DAB образуют развёрнутый угол, значит их сумма равна 180°

∠BAK + ∠DAB = 180°

Углы ∠KBA и ∠ABC также образуют развёрнутый угол, значит их сумма равна 180°

∠KBA + ∠ABC = 180°

Из перечисленных равенств получаем

∠BCD + ∠DAB = 180° , а ∠BAK + ∠DAB = 180°, значит

∠BCD + ∠DAB = ∠BAK + ∠DAB

∠BCD = ∠BAK

Кроме того

∠ABC + ∠CDA = 180° , а ∠KBA + ∠ABC = 180°, значит

∠ABC + ∠CDA = ∠KBA + ∠ABC

∠CDA = ∠KBA

То есть, углы ∠BCD и ∠BAK равны и углы ∠CDA и ∠KBA также равны.

Рассмотрим треугольники: ∆KAB и ∆KCD

Из вышеперечисленного получаем, что оба треугольника имеют один общий угол ∠K , а углы ∠CDK и ∠KBA равны, следовательно треугольники подобны.


  1. Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 15 и 13, а средняя линия равна 7.
Решение

Выполним чертёж, согласно заданного условия:

OGE-mat-9-klass-2019-14var-2-variant-16

Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму оснований:

    \[ S_{ABCD} = h * \frac{BC + AD}{2} \]

где, (BC + AD)/2 — это полусумма оснований EF (по условию задачи равна 7). Получаем:

    \[ S_{ABCD} = h * EF = h * 7  \]

Итак, чтобы найти площадь трапеции, нам необходимо найти ее высоту h.

Выполним ряд преобразований с нашим чертежом.

Продлим основание AD из точки D (вправо).

Проведём прямую из вершины C до основания AD так, чтобы данная прямая оказалась параллельной диагонали BD. Точку пересечения данной прямой с основанием AD обозначим через M (как показано на рисунке).

В четырехугольнике BCMD сторона CM || BD (по построению) и DM || BC (по определению трапеции)

Следовательно, четырехугольник BCMD является параллелограммом, поскольку его противоположные стороны параллельны.

Тогда, по свойству параллелограмма, DM = BC.

Найдем длину AM

AM = AD + DM = AD + BC

По условию задачи нам известна величина средней линии — 7. А мы помним, что средняя линия равна полусумме оснований. Отсюда

AM = AD + DM = AD + BC = 7 * 2 = 14

Рассмотрим треугольник ∆ACM.

Нам известны длины всех его сторон:

  • AC = 15
  • CM = BD = 13
  • AM = 14

Зная длины всех сторон треугольника, можно найти его площадь через полупериметр.

Определение: Если известны длины всех сторон треугольника, то для вычисления площади треугольника удобно пользоваться формулой Герона

    \[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]

где p — полупериметр

    \[ p = \frac{a + b + c}{2} \]

отсюда

    \[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{AC + CM + AM}{2} = \frac{15 + 13 + 14}{2} = \frac{42}{2} = 21 \]

    \[ S_{ACM} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{21 * (21 - 15)(21 - 13)(21 - 14)} =\]

    \[ = \sqrt{21 * 6 * 8 * 7} = \sqrt{7056} =84 \]

Чтобы найти высоту треугольника, прибегнем к другой формуле нахождения площади треугольника (через высоту):

    \[ S_{ACM} = h \frac{a}{2} = h \frac{AM}{2} = h \frac{14}{2} =84\]

Найдём из этой формулы, чему равна высота:

    \[ h \frac{14}{2} =84\]

    \[ 14h =84 * 2 = 168\]

    \[ h = 168 : 14 = 12\]

Высота треугольника ∆ACM равна 12.

Высота трапеции ABCD также равна 12.

Подставим значение высоты в первую формулу

    \[ S_{ABCD} = h * EF = h * 7  = 12 * 7 = 84\]

Площадь трапеции ABCD равна 84

Ответ:

84

Похожие посты