Меню Закрыть

ОГЭ по математике 2019. ТТЗ Ященко. 14 вариантов. Вариант 1

ОГЭ по математике 9 класс 2019 года под редакцией И. В. Ященко (14 вариантов) — Вариант 1

При написании данной работы «ОГЭ по математике 2019. ТТЗ Ященко. 14 вариантов. Вариант 1» было использовано пособие «ОГЭ 2019. Математика. 14 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ОГЭ  И. Р. Высоцкий, Л. О. Рослова, Л. В. Кузнецова, В. А. Смирнов, А. В. Хачатурян, С. А. Шестаков, Р. К. Гордин, А. С. Трепалин, А. В. Семенов, П. И. Захаров; под редакцией И. В. Ященко. — М.: Издательство «Экзамен», МЦНМО, 2019″.

Часть 1

Модуль «Алгебра»


  1. Найдите значение выражения

        \[\frac{6,9 + 4,1}{0,2}\]

Решение

    \[\frac{6,9 + 4,1}{0,2} = \frac{11}{0,2} = 55\]

Ответ:

55


  1. В таблице показаны налоговые ставки на автомобили, действующие в настоящее время в Москве (с 1 января 2013 года).
Мощность автомобиля (в л.с.*) Налоговая ставка (руб. за 1 л.с.* в год)
не более 70 0
71-100 12
101-125 25
126-150 35
151-175 45
176-200 50
201-225 65
226-250 75
свыше 250 150

*л.с. — лошадиная сила

Сколько рублей должен заплатить владелец автомобиля мощностью 255 л.с. в качестве налога за 1 год?

  1. 19125 рублей
  2. 75 рублей
  3. 150 рублей
  4. 38250 рублей
Решение

Итак, из таблице имеем, что для объема двигателя в 255 л.с. действует налоговая ставка «свыше 250», равная 150 рублей за л.с.

Отсюда получим

255 * 150 = 38 250 (руб) — соответсвует 4 му ответу

Ответ:

38 250 рублей, номер 4.


  1. Одно из чисел √41, √48, √53, √63 отмечено на прямой точкой А.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-1-variant-01

Какое это число?

  1. √41
  2. √48
  3. √53
  4. √63
Решение

Имеем

72 = 49, т.е. точке 7 соответсвует величина равная √49

82 = 64, т.е. точке 7 соответсвует величина равная √64

Точка А расположена ближе к цифре 7, значит она соответсвует значению √53 — ответ 3

OGE-mat-9-klass-2019-14var-1-variant-03

Ответ:

√53 — ответ 3


  1. Найдите значение выражения

    \[ \frac{(2^2 * 2^3)^4}{(2 * 2^5)^3} \]

Решение

Определение: степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.

Получаем:

    \[ \frac{(2^2 * 2^3)^4}{(2 * 2^5)^3} = \frac{(2^2^+^3)^4}{(2^1^+^5)^3} =\frac{(2^5)^4}{(2^6)^3} \]

Определение: При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются. (an)m = an · m

    \[ \frac{(2^5)^4}{(2^6)^3} = \frac{2^5^*^4}{2^6^*^3} =  \frac{2^2^0}{2^1^8} \]

Определение: степени с одинаковыми основами могут быть разделены путём вычитания показателей степеней.

    \[ \frac{2^2^0}{2^1^8} = 2^2^0^-^1^8= 2^2 = 4 \]

Ответ:

4


  1. На графике показано изменение температуры воздуха на протяжении трёх суток. По горизонтали указывается дата и время, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по графику наибольшую температуру воздуха 19 февраля. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Решение

Найдем на графике линию соответствующую максимальному значению температуры 19 февраля.

Этой отметки соответствует -2 градуса Цельсия

Ответ:

-2


  1. Решите уравнение

    \[ \frac{1}{4}x^2 - 4 = 0 \]

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ напишите больший из корней.

Решение

Для решения неполного квадратного уравнения, в котором b=0; c≠0, воспользуемся формулой:

    \[ ax^{2}=-c \]

    \[ x^{2}=-{\frac {c}{a}} \]

    \[ x_{1,2}=\pm {\sqrt {-{\frac {c}{a}}}} \]

Имеем

    \[ \frac{1}{4}x^2 - 4 = 0 \]

Здесь

    \[ a =\frac {1}{4}; c=-4 \]

Найдём корни уравнения

    \[ x_1= {\sqrt {-{\frac {-4}{\frac {1}{4}}}}} = {\sqrt {-{\frac {-4*4}{1}}} } = {\sqrt {16} = 4 \]

    \[ x_2= -{\sqrt {-{\frac {-4}{\frac {1}{4}}}}} = -{\sqrt {-{\frac {-4*4}{1}}} } = -{\sqrt {16} = -4 \]

Ответ:

Наибольший корень данного уравнения: 4


  1. Для приготовления фарша на 4 части говядины взяли 1 часть свинины. Сколько процентов фарша составляет говядина?
Показать решение

Из условия известно, что было 4 части говядины и 1 часть свинины.

Всего

4 + 1 = 5 (частей)

Если 5 частей мяса взять за 100%, то получим

100 % / 5 = 20 (%) — сколько составляет одна часть мяса

20 * 4 = 80% — процентов фарша составляет говядина

Ответ:

80% — процентов фарша составляет говядина


  1. На диаграмме показано содержание питательных веществ в ядрах кедровых орехов.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-1-variant-06

* к прочему относятся вода, витамины и минеральные вещества.

Определите по диаграмме, сколько примерно жиров содержится в 50 г кедровых орехов.

  1. около 30 г
  2. около 10 г
  3. около 110 г
  4. около 20 г
Решение

Согласно диаграмме, содержание жиров в кедровых орехах составляет более половины — около 60% от общей массы.

Исходя из этого получаем:

50 / 100 = 0,5 (г) — весит 1% орехов

0,5 * 60 = 30 (г) — жиров содержится в 50 граммах кедровых орехов — номер 1

Ответ:

30 г — номер 1


  1. Вероятность того, что новый сканер прослужит более двух лет, равна 0,86. Вероятность того, что он послужит три года или больше, равна 0,78. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше трёх лет, но не менее двух лет.
Решение

Пусть

  • A = «сканер прослужит более двух лет, но меньше трёх лет»
  • В = «сканер прослужит больше трёх лет»
  • С = «сканер прослужит ровно три года»

тогда A + B + С = «сканер прослужит больше двух лет».

События A, В и С несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий.

Вероятность события С, состоящего в том, что сканер выйдет из строя ровно через три года — строго в тот же день, час и секунду — равна нулю.

Тогда:

P(A + B + С) = P(A) + P(B) + P(С) = P(A) + P(B)

откуда, используя данные из условия, получаем

0,86 = P(A) + 0,78

Откуда, для искомой вероятности имеем:

P(A) = 0,86 − 0,78 = 0,08

Ответ:

0,08


  1. Установите соответствие между функциями и их графиками.

Функции:

А)

    \[ y = -\frac{12}{x}   \]

 Б)  

    \[ y = \frac{1}{12x}    \]

 В)  

    \[ y = \frac{12}{x} \]

Графики:

OGE-mat-2018-TTZ-1-variant-5

В таблице под каждой буквой укажите соответсвующий номер.

Решение
  1. Изображённая на рисунке 1 гипербола расположена во второй и четвёртой четвертях, следовательно, данному графику может со­от­вет­сво­вать функция А. Выполним проверку: a) при х = -6,  y = -(12/-6) = 2; б) при х = -2, y = -(12/-2) = 6; в) при х = 2, y = -(12/2) = -6; г) при х = 6,  y = -(12/6) = -2. Что и требовалось доказать.
  2. Изображённая на рисунке 2 гипербола расположена в первой и третьей четвертях, следовательно, данному графику может со­от­вет­сво­вать функция Б. Выполнение проверки проведите самостоятельно, по аналогии с первым примером.
  3. Изображённая на рисунке 3 гипербола расположена в первой и третьей четвертях, следовательно, данному графику может со­от­вет­сво­вать функция В. Выполним проверку: a) при х = -6,  y = (12/-6) = -2; б) при х = -2, y = (12/-2) = -6; в) при х = 2, y = (12/2) = 6; г) при х = 6,  y = (12/6) = 2. Что и требовалось доказать.

Ответ:

А — 1 ; Б — 2 ; В — 3


  1. Последовательность (сn) задана условиями:

с1 = 6,  с= сn-1 + 2 при n > 1.

Найдите c7.

Решение

Имеем

с= сn-1 + 2

Из данной формулы видно, чтобы получить текущий член последовательности надо к предыдущему прибавлять 2, т.е.

с= с2-1 + 2 = с1 + 2 = 6 +2 = 8

Перед нами арифметическая прогрессия, шаг которой равен  d = 2

Для арифметической прогрессии существует формула:

сn = a1 + d(n-1)

Отсюда получим

с7 = a1 + d(7-1) = 6 + 2 (6) = 6 + 12 = 18

с7 = 18

Ответ:

с7 = 18


  1. Найдите значение выражения

    \[ (x - 3) : \frac{x^2 - 6x +9}{x + 3} \]

при

    \[  x = -21  \]

Решение

Для решения данного выражения, подставим значение х

    \[ (x - 3) : \frac{x^2 - 6x +9}{x + 3} = (x - 3) * \frac{x + 3} {x^2 - 6x +9} =  (-21 - 3) * \frac{-21 + 3} {(-21)^2 - 6 * (-21) +9}  = \]

    \[ = -24 * \frac{-18} {441 + 126 +9} =\frac{-24 * (-18)} {576} =\frac{432} {576}  = 0,75 \]

Ответ:

0,75


  1. Закон Джоуля-Ленца описывает выделение тепла в проводнике при прохождении тока. Закон можно записать в виде Q = I2Rt, где Q — выделяемое количество теплоты в джоулях, I — сила тока в амперах, R — сопротивление проводника в омах, а t — продолжительность протекания тока через проводник в секундах. Пользуясь этой формулой, найдите время t (в секундах), если Q = 3468 Дж, I = 8,5 А, R = 8 Ом.
Решение

Исходная формула

    \[ Q = I^2 * R * t \]

По условию задачи необходимо найти t. Преобразуем формулу:

    \[ t = \frac{Q} { I^2 * R} \]

Подставим имеющиеся значения всех величин:

    \[ t = \frac{Q} { I^2 * R} = \frac{3468} { 8,5^2 * 8} = \frac{3468} { 72,25 * 8} = \frac{3468} { 578} = 6 \]

Ответ:

6 секунд


  1. Укажите неравенство, которое не имеет решений.

1) x2 + 9x — 79 < 0

2) x2 + 9x + 79 > 0

3) x2 + 9x + 79 < 0

4) x2 + 9x — 79 > 0

Решение

Итак, имеем две функции x2 + 9x — 79 и x2 + 9x + 79. Графиками этих функций являются параболы. Для наглядности мы воспользовались сервисом построения графиков.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-1-variant-07 OGE-mat-9-klass-2019-14var-1-variant-08

Известно, что если парабола пересекает ось Х, то значит функция может принимать и положительные и отрицательные значения (быть  >0, и <0).

Чтобы неравенство не имело решений, парабола НЕ должна пересекать ось Х (необходимое, но не достаточное условие).

Без построения графика, узнать что парабола не пересекает ось Х, мы можем с помощью определения дискриминанта. Если дискриминант квадратного уравнения меньше нуля — у квадратной функции нет корней.

Найдем дискриминанты для обеих функций.

x2 + 9x — 79

a=1, b=9, c=-79

D = b2— 4ac = 92— 4 * 1 * (-79) = 81 + 316 = 397

Дискриминант положительный, следовательно данная функция имеет два корня и пересекает ось Х. Следовательно, данная функция может принимать положительные и отрицательные значения. Отсюда неравенства 1) и 4) имеют решения.

Найдем дискриминант второй функции.

x2 + 9x + 79

a=1, b=9, c=79

D = b2— 4ac = 92— 4 * 1 * 79 = 81 — 316 = — 235

Дискриминант отрицательный, т.е. данное уравнение не имеет корней, а график данной функции не пересекает ось Х.

В данной функции аргумент а=1 (положительный), следовательно, ветви параболы направлены вверх.

График данной функции полностью располагается над осью Х. Следовательно, функция принимает только положительные значения.

Получается, что неравенство под пунктом 3) x2 + 9x + 79 < 0 — не имеет решений.

Ответ:
3


Модуль «Геометрия»


  1. Сколько спиц в колесе, в котором угол между любыми соседними спицами равен 36°?
Решение

Известно, что любая окружность составляет 360°

Тогда

360° : 36° = 10

В колесе 10 спиц

Ответ:

10


  1. В треугольнике ∆ABC угол А = 35°, а угол В равен 39°. Найдите внешний угол при вершине С. Ответ дайте в градусах.
Решение

Для решения данной задачи необходимо воспользоваться теоремой о сумме углов треугольника.

Определение: Сумма углов треугольника на евклидовой плоскости равна 180°.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-1-variant-09
сумма внешнего и внутреннего угла при одной вершине равна 180°

∠A + ∠B + ∠C = 180°

Исходя из этого найдем, чему равен угол ∠С:

∠C = 180° — ∠A — ∠B = 180° — 35° — 39° = 106°

Для решения данной задачи необходимо воспользоваться свойством внешних углов треугольника: сумма внешнего и внутреннего угла при одной вершине равна 180°.

Получаем:

180° — ∠ACB = ∠BCD

∠BCD = 180° — 106° = 74°

Ответ:

внешний угол при вершине С равен  74°


  1. В угол С величиной 107° вписана окружность, которая касается сторон угла в точка А и В, точка О — центр окружности. Найдите угол ∠АОВ. Ответ дайте в градусах.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-1-variant-10

Решение

Радиус окруж­но­сти пер­пен­ди­ку­ля­рен ка­са­тель­ной в точке касания, по­это­му углы ∠CAO и ∠OBC равны 90°.

Определение: Сумма углов четырёхугольника равна 360°

Отсюда имеем:

∠AOB = 360° −∠CAO − ∠OBC − ∠ACB = 360° − 90° − 90° − 107° = 73°

Ответ:

∠AOB =  73°


  1. Найдите площадь параллелограмма, изображенного на рисунке.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-1-variant-11

Решение

Представим данный параллелограмм в более удобном для решения виде.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-1-variant-13
Формула площади S параллелограмма со стороной a и высотой h, проведённой к этой стороне:

    \[ S = ah \]

где,

a — длина основания треугольника

h — высота треугольника.

Высотой данного параллелограмма является отрезок BN = 4,  а стороной a, является сторона AD,

    \[ AD = AN + ND = 3 + 2 = 5 \]

    \[ S = ah = 5 * 4 = 20 \]

Площадь S параллелограмма равна  S = 20

Ответ:

20


  1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной AC.

OGE-mat-9-klass-2019-14var-1-variant-12

Решение

Длина средней линии n, параллельной стороне AC вычисляется по формуле:

    \[ n = \frac{1}{2} * AC  \]

Из рисунка имеем:

AC = 4 клетки = 4

Тогда

    \[ n = \frac{1}{2} * 4 = 2  \]

Длина средней линии треугольника, параллельной AC = 2

Ответ:

2


  1. Какое из следующих утверждений верно?
  1. Точка пересечения двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей.
  2. В параллелограмме есть два равных угла.
  3. Основания равнобедренной трапеции равны.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Данное задание не является задачей. Вопросы, перечисленные здесь необходимо знать наизусть и уметь на них отвечать.

  1. Неверно.
  2. Верно — это свойство параллелограммов — противоположные углы в параллелограмме равны.
  3. Неверно — основания равнобедренной трапеции не равны, равны два прилежащих угла к основанию.

Ответ:

2


Часть 2

Модуль «Алгебра»


  1. Найдите значение выражения 19a — 7b + 12, если

    \[ \frac{5a - 8b + 2}{8a - 5b + 2} = 3 \]

Решение

Преобразуем

    \[ \frac{5a - 8b + 2}{8a - 5b + 2} = 3 \]

    \[ 5a - 8b + 2 = 3 * (8a - 5b + 2) \]

    \[ 5a - 8b + 2 = 24a - 15b + 6) \]

    \[ 24a - 5a - 15b  + 8b + 6 - 2 = 0) \]

    \[ 19a - 7b + 4 = 0) \]

    \[ 19a - 7b = -4 \]

Подставим получено выражение в первую формулу:

    \[ 19a - 7b + 12 = -4 + 12 = 8\]

Ответ:

8


  1. Первая труба пропускает на 16 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 105 литров она заполняет на 4 минуты быстрее, чем первая?
Решение

Пусть

х — это пропускная способность первой трубы, тогда

х + 16 — это пропускная способность второй трубы

Отсюда, время заполнения резервуара объёмом 105 литров первой трубой равно:

105/x

Тогда , время заполнения резервуара объёмом 105 литров второй трубой равно:

105/(x + 16)

По условию задачи сказано, что вторая труба заполняет резервуар на 4 минуты быстрее.

Исходя из выше сказанного получим уравнение:

    \[ \frac{105}{x + 16} - \frac{105}{x} = 4 \]

приводим к общему знаменателю и решаем:

    \[ \frac{105 (x)}{(x)(x + 16)} - \frac{105(x + 16)}{(x)(x + 16)} = 4 \]

    \[ \frac{105 x}{(x)(x + 16)} - \frac{105x + 1680}{(x)(x + 16)} = 4 \]

    \[ 105x - 105x + 1680 = 4 * (x)(x + 16) \]

    \[ 1680 = 4 * (x^2 + 16x) \]

    \[ 1680 = 4x^2 + 64x \]

    \[ 4x^2 + 64x - 1680 = 0 \]

    \[ x^2 + 16x - 420 = 0 \]

Для дальнейшего решения уравнения, необходимо найти дискриминант:

 

    \[ D = 16^2 - 4 * 1 * (-420) = 256 + 1680 = 1936 = 44^2 \]

 

    \[ x = \frac{ -16 \pm 44 }{2 * 1 }\]

    \[ x = \frac{ -16 + 44 }{2}\]

    \[ x = \frac{28}{2}\]

    \[ x = 14 \]

14 — это пропускная способность первой трубы

х + 16 — это пропускная способность второй трубы, или

14 + 16 = 30

Ответ:

30


  1. Постройте график функции y = x2 — 3 | x | — 2x  и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком не менее одной, но не более трёх общих точек.
Решение

y = x2 — 3 | x | — 2x

Заданная функция имеет модуль, поэтому разложим данную функцию на две подфункции, в зависимости от значения модуля:

  • y = x2 — 3x — 2x, при x≥0
  • y = x2 — 3(-x) — 2x, при x<0

или

  • y = x2 — 3x — 2x = x2 — 5x, при x≥0
  • y = x2 — 3(-x) — 2x = x2 + 3x — 2x = x2 + x , при x<0

Построим график для обеих функций

OGE-mat-9-klass-2019-14var-1-variant-15

На графике видно, что обе функции являются параболами, ветви которых направлены вверх (поскольку коэффициент «а» больше нуля).

Первая функция представлена на графике зелёным цветом, а вторая функция — красным.

Синим цветом изображена функция y=m (при m=2).

Так как у обеих функций коэффициент с=0, то их общей границей является начало координат. График функции y = x2 — 3 | x | — 2x отображён пунктиром

На графике хорошо видно, что между вершинами обеих парабол функция y=m будет иметь от одного до двух пересечений. Ниже вершины параболы, представленной функцией y = x2 — 5x, прямая y=m вообще не будет иметь общих точек с графиком.

Чтобы определить интервал между двух вершин, найдём значение вершин у обеих парабол:

Вершина параболы y = x2 — 5x:

x0 = -b/2a = -(-5)/2 = 5/2 = 2,5

y0 = x2 — 5x = 2,52 + 5 * 2,5 = 6,25 — 12,5 = -6,25

Вершина параболы y = x2 + x:

x0 = -b/2a = -1/2 = -0,5

y0 = x2 + x = (-0,5)2 + (-0,5) = 0,25 — 0,5 = -0,25

Первый интервал [-6,25; -0,25)

Второй интервал виден на графике — при значениях в интервале [0;+∞)  функция y=m будет иметь от одного до двух пересечений, но не более трёх общих точек.

Ответ:

[-6,25; -0,25) ∪ [0;+∞)


  1. Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD=35, BC=21, CF:DF=5:2.
Решение

Построим заданный параллелограмм:

OGE-mat-9-klass-2019-14var-1-variant-17

Обозначим пересечение отрезков AC и EF через О.

Рассмотрим треугольники ∆ACD и ∆OCF. Данные треугольники имеют общий угол ∠С, а углы ∠CAD и ∠COF равны друг другу, как соответственные углы при параллельных прямых.

Следовательно, треугольники ∆ACD и ∆OCF подобны.

Отсюда:

    \[ \frac{OF}{AD} = \frac{CF}{CD}  = \frac{CF}{CF + DF} = \frac{5}{7} \]

Почему 5/7? По условию — отношения отрезков CF:DF=5:2. Т.е. отрезок CF составляет 5 частей, отрезок DF 2 части, а их сумма 2+5 = 7 частей, т.е. отрезок CD.

Найдем из предыдущего выражения чему равен OF

    \[ OF = \frac{5}{7} * AD  = \frac{5}{7} * 35 = 5 * 5 = 25 \]

Аналогично из треугольников ∆ABC и ∆AEO получаем:

    \[ \frac{EO}{BC} = \frac{AE}{AB}  = \frac{AE}{AE + EB} = \frac{2}{2 + 5} \frac{2}{7} \]

Почему 2/7? По условию — отношения отрезков CF:DF=5:2. Исходя из того, что AE=FD, а EB=CF, т.е. BE:EA = 5:2

Найдем из предыдущего выражения чему равен EO

    \[ EO = \frac{2}{7} * BC  = \frac{2}{7} * 21 = 2 * 3 = 6 \]

Таким образом

    \[ EF = EO + OF = 6 + 25 = 31 \]

Длина отрезка  EF равна 31

Ответ:

31


  1. Точка К — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника ∆KAB равна половине площади трапеции.
Решение

Выполним чертёж, согласно заданного условия:

OGE-mat-9-klass-2019-14var-1-variant-18

Обозначим средину стороны AD точкой M. В таком случае отрезок MK будет являться средней линией заданной трапеции ABCD.

Площадь трапеции с основаниями a и b и высотой h равна:

    \[ S = \frac{a + b}{2} * h \]

Определение: Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований (a, b) на высоту (h)

a = AD
b = BC
h = BH

Отсюда

    \[ S_{ABCD} = \frac{a + b}{2} * h = \frac{AD + BC}{2} * BH \]

Определение: Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий верщину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника.

Так как средняя линия MK делит боковые стороны трапеции ABCD и высоту пополам, то она является медианой треугольника ∆KAB.

Свойства медиан треугольника: Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади. А значит площади треугольников ∆MBK и ∆AMK равны%

    \[ S_{MBK} = S_{AMK}\]

Получаем:

    \[ S_{MBK} = \frac{1}{2} MK * BL = \frac{1}{2} \frac{BC + AD}{2} * \frac{BH}{2} = \frac{1}{2} \frac{BC + AD}{4} BH \]

    \[ S_{KAB} = 2 * S_{MBK} = 2\frac{1}{2} \frac{BC + AD}{4} BH = \frac{1}{2} \frac{BC + AD}{2} BH \]

Так как мы в самом начале выяснили, что

    \[ S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} * BH \]

То подставив правую часть формулы в последнюю формулу, получим:

    \[ S_{KAB} = \frac{1}{2} \frac{BC + AD}{2} BH = \frac{1}{2} S_{ABCD}\]

Что и требовалось доказать


  1. Биссектриса CM треугольника ∆ABC делит сторону AB. на отрезки AM=13 и MB=15. Касательная к окружности, описанной около треугольника ∆ABC, проходит через точку С и пересекает прямую AB в точке D. Найдите CD.
Решение

OGE-mat-9-klass-2019-14var-1-variant-19

Выполним чертёж, согласно заданного условия:

Так как MC — это биссектриса, то будет справедливым:

    \[ \frac{AC}{BC} = \frac{AM}{MB} = \frac{a}{b}  \]

    \[ AC = ax  \]

    \[ BC = bx  \]

По условию задачи:

AM = a = 13
MB = b = 15

Угол ∠ADC равен половине дуги, на которую опирается, поскольку это угол, об­ра­зо­ван­ный ка­са­тель­ной к окруж­но­сти и секущей, проведённой через точку касания.

Угол ∠ABC — вписанный, по­это­му он также равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую опирается.

Углы ∠ADC и ∠ABC опи­ра­ют­ся на одну и ту же дугу, следовательно, они равны.

Рассмотрим треугольники ∆ACD и ∆BCD:

  • оба треугольника имеют общий угол ∠BDC
  • углы ∠ADC и ∠ABC равны

Исходя из выше перечисленного заключаем, что треугольники ∆ACD и ∆BCD подобны.

∆BCD ∞ ∆ CAD

Отсюда

    \[ \frac{BC}{AC} = \frac{BD}{CD} \]

Подставляя значения a и b, получим:

    \[ \frac{15x}{13x} = \frac{a + b + c}{CD} = \frac{13 + 15 + c}{CD} \]

    \[ \frac{15}{13} = \frac{28 + c}{CD} \]

    \[ \frac{15}{13} CD = 28 + c \]

    \[ 15CD = 13 * ( 28 + c) \]

    \[ 15CD = 364 + 13c \]

    \[13c = 15CD  - 364 \]

    \[ c = \frac{15CD - 364}{13} =  \frac{15CD}{13} - \frac{364}{13} =  \frac{15CD}{13} - 28\]

    \[ c =  \frac{15CD}{13} - 28\]

    \[CD^2 = AD * BD \]

    \[CD^2 = c (13 + 15 + c) \]

    \[CD^2 = (\frac{15CD}{13} - 28)  (13 + 15 + \frac{15CD}{13} - 28) \]

    \[CD^2 = (\frac{15CD}{13} - 28)  (28 + \frac{15CD}{13} - 28) \]

    \[CD^2 = (\frac{15CD}{13} - 28)  (\frac{15CD}{13} ) \]

    \[CD^2 = (\frac{15CD}{13} - 28)  * \frac{15CD}{13}  \]

Сокращаем обе стороны на CD

    \[CD = (\frac{15CD}{13} - 28)  * \frac{15 }{13}  \]

    \[CD = \frac{15CD}{13}  * \frac{15 }{13} - 28  * \frac{15 }{13}  \]

    \[CD = \frac{225CD}{13 * 13} - \frac{28  * 15 }{13}  \]

    \[CD = \frac{225CD}{169} - \frac{420 }{13}  \]

    \[CD = \frac{225CD}{169} - \frac{420 * 13}{13 * 13}  \]

    \[CD = \frac{225CD}{169} - \frac{5460}{169}  \]

    \[CD = \frac{225CD - 5460}{169}  \]

    \[169CD = 225CD - 5460  \]

    \[225CD - 169CD = 5460  \]

    \[56CD = 5460  \]

    \[CD = 5460 / 56 = 97,5  \]

Ответ:

97,5

Похожие посты