ОГЭ по математике 9 класс 2018. Вариант 2 с решением

ОГЭ по математике 9 класс 2018 года под редакцией И. В. Ященко – Вариант №2

При написании данной работы “ОГЭ по математике 2018. Вариант 2” было использовано пособие “ОГЭ 2018. Математика. 14 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ОГЭ / И. Р. Высоцкий, Л. О. Рослова, Л. В. Кузнецова, В. А. Смирнов, А. В. Хачатурян, С. А. Шестаков, Р. К. Гордин, А. С. Трепалин, А. В. Семенов, П. И. Захаров; под редакцией И. В. Ященко. – М.: Издательство “Экзамен”, МЦНМО, 2018″.

Часть 1

Модуль “Алгебра”

Найдите значение выражения
$\frac{11}{5} + \frac{13}{4}$

Показать решение

Чтобы сложить две дроби, их необходимо привести к общему знаменателю. В данном случае – это число 20:

$\frac{11}{5} + \frac{13}{4} = \frac{11 * 4}{5 * 4} + \frac{13 * 5}{4 * 5} = \frac{44}{20} + \frac{65}{20} = \frac{44 + 65}{20} = \frac{109}{20} = 5,45$

Ответ:
5,45

В нескольких эстафетах, которые проводились в школе, команды показали следующие результаты.

Команда	I эстафета, баллы	II эстафета, баллы	III эстафета, баллы	IV эстафета, баллы
“Удар”	3	3	2	1
“Рывок”	4	1	4	2
“Взлёт”	1	2	1	4
“Спурт”	2	4	3	3

При подведении итогов баллы каждой команды по всем эстафетам суммируются. Побеждает команда, набравшая наибольшее количество баллов. Какая команда заняла первое место?

“Удар”
“Рывок”
“Взлёт”
“Спурт”

Показать решение

В первую очередь суммируем баллы, набранные каждой командой

“Удар” = 3 + 3 + 2 + 1 = 9
“Рывок” = 4 + 1 + 4 + 2 = 11
“Взлёт” = 1 + 2 + 1 + 4 = 8
“Спурт” = 2 + 4 + 3 + 3 = 12

Судя по результату: первое место у команды “Спрут”.
Ответ:
Первое место заняла команда “Спрут”, номер 4.

На координатной прямой точки A, B, C и D соответсвуют числам: 0,098; -0,02; 0,09; 0,11.

Какой точке соответствует число 0,09 ?

Показать решение

На координатной прямой положительные числа находятся справа от начала координат, а отрицательные – слева. Значит единственное отрицательное число -0,02 соответсвует точке A. Самое большое положительное число – это 0,11, а значит оно соответсвует точке D (крайней справа). Учитывая, что оставшееся число 0,098 больше числа 0,09, то и принадлежат они точкам C и B соотвественно. Отобразим это на чертеже:

Ответ:
Число 0,09 соответсвует точке B, номер 2.

Найдите значение выражения

$\sqrt{36} - (\sqrt{3,6})^2$

Показать решение

В данном примере необходимо проявить смекалку. Если корень из 36 равен 6, поскольку 6² = 36, то корень из 3,6 найти простым путём достаточно сложно. Однако, после нахождения корня из числа 3,6 его нужно тут же возвести в квадрат. Таким образом, два действия: нахождение квадратного корня и возведение в квадрат аннулируют друг друга. Поэтому получаем:

$\sqrt{36} - (\sqrt{3,6})^2 = 6 - 3,6 = 2,4$

Ответ:
2,4

На графике изображена зависимость атмосферного давления от высоты над уровнем моря. На горизонтальной оси отмечена высота над уровнем моря в километрах, на вертикальной – давление в миллиметрах ртутного столба. Определите по графику, на какой высоте атмосферное давление равно 360 миллиметрам ртутного столба. Ответ дайте в километрах.

Показать решение

Найдем на графике линию соответствующую 360 мм ртутного столба. Далее определим место её пересечения с кривой зависимости атмосферного давления от высоты над уровнем моря. На графике прекрасно видно это место пересечения. Проведем от точки пересечения вниз прямую до шкалы высот. Искомая величина 5,5 километров.

Ответ:
Атмосферное давление равно 360 миллиметрам ртутного столба на высоте 5,5 километров.

Решите уравнение x² – 6x = 16

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ напишите меньший из корней.

Показать решение

x² – 6x = 16

Перед нами обычное квадратное уравнение:

x² + 6x – 16 = 0

Для его решения необходимо найти дискриминант:

D = b² – 4ac

D = (-6)² – 4 * 1 * (-16) = 36 + 64 = 100

Так как D > 0, то уравнение иеет два корня

х1 = (-(-6) + √100) / 2 * 1 = (6 + 10) / 2 = 16 / 2 = 8

х2 = (-(-6) – √100) / 2 * 1 = (6 – 10) / 2 = -4 / 2 = -2

Выполним проверку:

х1 = 8

8² – 6 * 8 – 16 =0

64 – 48 – 16 = 0

16 – 16 = 0

0 = 0

верно

х2 = -2

(-2)² – 6 * (-2) – 16 =0

4 + 12 – 16 = 0

16 – 16 = 0

0 = 0

верно

Следовательно, х1 = 8 и х2 = -2 – корни заданного квадратного уравнения.

х1 = -2 – меньший корень уравнения.
Ответ:
Наименьший корень данного уравнения: -2

Поступивший в продажу в январе мобильный телефон стоил 1600 рублей. В мае он стал стоить 1440 рублей. На сколько процентов снизилась цена на мобильный телефон в период с января по май?

Показать решение

Итак, 1600 рублей – 100%

1600 – 1440 = 160 (р) – сумма на которую подешевел телефон

160 / 1600 * 100 = 10 (%)
Ответ:
Цена на мобильный телефон в период с января по май снизилась на 10%

На диаграмме представлены семь крупнейших по площади территории (в млн км²) стран мира.

Какие из следующих утверждений верны?

1) Афганистан входит в семёрку крупнейших по площади территории страна мира.
2) Площадь территории Бразилии составляет 8,5 млн км².
3) Площадь территории Индии больше площади территории Австралии.
4) Площадь территории России больше площади территории США на 7,6 млн км².

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Показать решение

Исходя из графика, Афганистан отсутсвует в списке представленных стран, а значит первое утверждение неверное.

Над гистограммой Бразилии указана площадь 8,5 млн км², что соответсвует второму утверждению, верное.

Площадь территории Индии согласно графика равна 3,3 млн км², а площадь Австралии – 7,7 млн км², что не соответсвует утверждению в третьем пункте, неверное.

Площадь территории России равна 17,1 млн км², а площадь США – 9,5 млн км², получаем 17,1 – 9,5 = 7,6 млн км². А значить утверждение 4 верное.
Ответ:
24

В каждой восьмой бутылке газировки согласно условиям акции под крышкой есть приз. Призы распределены случайно. Вася покупает бутылку газировки. Найдите вероятность того, что Вася не найдет приз.

Показать решение

Решение данной задачи основано на классической формуле определения вероятности:

$P(A) = \frac{m}{n}$

где, m – число благоприятных исходов события, а n – общее количество исходов

Получаем

$P(A) = \frac{1}{8} = 0.125$

Таким образом, вероятность того, что Вася не найдёт приз составит 7/8 или

$1 - 0,125 = 0,875$

Ответ:
Вероятность того, что Вася не найдёт приз составит 0,875

Установите соответствие между функциями и их графиками.

Функции:

А)

$y = \frac{3}{x}$

Б)

$y = -\frac{3}{x}$

В)

$y = -\frac{1}{3x}$

Графики:

В таблице под каждой буквой укажите соответсвующий номер.

Показать решение

Изображённая на рисунке 1 гипербола расположена второй и четвертой четвертях, следовательно, данному графику может соответствовать функция В. Выполним проверку: a) при х = -6, y = -(1/-6*3) = 0,05; б) при х = -2, y = -(1/-2*3) = 0,17; в) при х = 2, y = -(1/2*3) = -0,17; г) при х = 6, y = -(1/6*3) = -0,05. Что и требовалось доказать.
Изображённая на рисунке 2 гипербола расположена в первой и третьей четвертях, следовательно, данному графику может соответсnвовать функция А. Выполнение проверки проведите самостоятельно, по аналогии с первым примером.
Изображённая на рисунке 3 гипербола расположена во второй и четвертой четвертях, следовательно, данному графику может соответствовать функция Б. Выполним проверку: a) при х = -6, y = -(3/-6) = 0,5; б) при х = -2, y = -(3/-2) = 1,5; в) при х = 2, y = -(3/2) = -1,5; г) при х = 6, y = -(3/6) = -0,5. Что и требовалось доказать.

Ответ:
А – 2 ; Б – 3 ; В – 1

Арифметическая прогрессия (a_n) задана условиями:

a₁ = 48, a_n+1 = a_n – 17.

Найдите сумму первых семи её членов.

Показать решение

a₁ = 48, a_n+1 = a_n – 17

a_n + 1=a_n – 17 ⇒ d = -17

a_n = a₁ + d(n-1)

a₇ = a₁ + d(n-1) = 48 – 17 (7 – 1) = 48 – 102 = -54

S₇ = (a₁ + a₇)∙7 / 2

S₇ = (a₁ + a₇)∙3.5

S₇ = ( 48 – 54 )∙3.5 = -21
Ответ:
-21

Найдите значение выражения

$(x - 7)^2 - x(6 + x)$

при

$x = -\frac{1}{20}$

Показать решение

Раскрываем скобки. Не забываем, что первая скобка – это квадрат разницы.

$(x - 7)^2 - x(6 + x ) = x^2 - 14x + 49 - 6x - x^2 = 49 - 20x$

при

$x=-1/20$

$49 - 20(-\frac{1}{20}) = 49 + \frac{20}{20} = 49 + 1 = 50$

Ответ:
50

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле

$S = \frac{d_1d_2sin a}{2}$

где d₁ и d₂ – длины диагоналей четырёхугольника, a – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d₂, если

$d_1 = 13, sin a = \frac{3}{13}, S = 25,5$

Показать решение

$d_2 = \frac{2S}{d_1 sin a} = \frac{2 * 25,5}{13 * \frac{3}{13}} = \frac{51}{ \frac{39}{13}}$

Помните правило, если у нас трёх-этажная дробь, то нижнее значение переносится наверх

$\frac{51}{ \frac{39}{13}} = \frac{51 * 13}{39} = 17$

Ответ:
17

Укажите решение неравенства

-3 – x > 4x + 7

$1) (-\infty; -0,8)$	$2) (-\infty; -2);$
$3) (-2; +\infty);$	$4) (-0,8; +\infty)$

Показать решение

Для решения данного неравенства необходимо сделать следующее:

а) перенесём член 4х в левую часть неравенства, а -3 – в правую часть, не забыв поменять знаки на противоположные. Получим:

$-4x - x > 7 + 3$

$-5x > 10$

б) Умножим обе части неравенства на отрицательное число -1 и заменим знак неравенства на противоположный.

$-5x(-1) > 10(-1)$

$5x < -10$

в) найдём значение х

$x < -10:5$

$x < -2$

г) множеством решений данного неравенства будет числовой промежуток от -∞ до -2, что соответсвует ответу 2
Ответ:
2

Модуль “Геометрия”

Две сосны растут на расстоянии 30 м одна от другой. Высота одной сосны 26 м, а другой – 10м. Найдите расстояние (в метрах) между их верхушками.

Показать решение

Решение

На рисунке мы изобразили две сосны. Расстояние между ними – а = 30 м; разницу в высоте мы обозначили, как b; ну и расстояние между верхушками – это c.

Как видите, у нас получился обычный прямоугольный треугольник состоящий из гипотенузы (c) и двух катетов (a и b). Для нахождения длины гипотенузы воспользуемся теоремой Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов c²= a²+ b²

отюда

b = 26 – 10 = 16 (м)

a = 30 (м)

$c^2 = a^2 + b^2} = 16^2 + 30^2 = 256 + 900 = 1156$

$c = \sqrt {1156} = 34$

Итак, расстояние между верхушками сосен 34 метра
Ответ:
34

В треугольнике ABC известно, что AB = 5, BC = 6, AC = 4. Найдите cos∠ABC

Показать решение

Для решения данной задачи необходимо воспользоваться теоремой косинусов. Квадрат стороны треугольника равняется сумме квадратов 2-х других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

a² = b² + c² – 2bc cosα

АС² = АВ² + ВС² – 2·АВ·ВС·cos∠ABC
4² = 5² + 6² – 2·5·6·cos∠ABC
16 = 25 + 36 – 60·cos∠ABC

60·cos∠ABC = 25 + 36 – 16
60·cos∠ABC = 45
cos∠ABC = 45 / 60 = 3/4 = 0,75
Ответ:
cos∠ABC = 0,75

На окружности с центром в точке О отмечены точки A и B так, что ∠AOB = 18^о. Длина меньшей дуги AB равна 5. Найдите длину большей дуги AB.

Показать решение

Известно, что круг составляет 360^о. Исходя из этого, 18^о составляет:

360^о / 18^о = 20 – кол-во сегментов в круге по 18^о

Итак, 18^о составляют 1/20 часть всей окружности, значит оставшаяся часть круга:

$\frac{20}{20} - \frac{1}{20} = \frac{19}{20}$

т.е. оставшиеся 342^о (360^о – 18^о = 342^о) составляют 19-ю часть всей окружности

Если длина меньшей дуги AB равна 5, то длина большей дуги AB составит:

5 * 19 = 95
Ответ:
95

В трапеции ABCD известно, что AB = CD, ∠BDA = 18^о и ∠BDC = 97^о. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Показать решение

По условию задачи перед нами равнобедренная трапеция. Углы в основании равнобедренной трапеции (верхнем и нижним) равны.

∠ADC = 18 + 97 = 115°
∠DAB = ∠ADC = 115°

Теперь рассмотрим треугольник ABD в целом. Нам известно, что сумма углов треугольника равна 180 °. Отсюда:

∠ABD = 180 – ∠ADB – ∠DAB = 180 – 18 – 115 = 47°.
Ответ:
47°

На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён треугольник. Найдите его площадь.

Показать решение

Площадь треугольника равна произведению половины основания треугольника (a) на его высоту (h):

$S = \frac{1}{2} a h$

где,

a – длина основания треугольника

h – высота треугольника.

Из рисунка мы видим, что основание треугольника равно 6 (клеткам), а высота – 5 (клеткам). Исходя из чего получаем:

$S = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} * 6 * 5 = \frac{1}{2} * 30 = \frac{30}{2} = 15$

Ответ:
15

Какое из следующих утверждений верно?

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Две окружности пересекаются, если радиус одной окружности больше радиуса другой окружности.
Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Показать решение

Данное задание не является задачей. Вопросы, перечисленные здесь необходимо знать наизусть и уметь на них отвечать.

Это утверждение абсолютно верно по признаку подобия треугольников.
Неверно, поскольку средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.
Неверно, поскольку сумма углов любого треугольника равна 180^о.

Ответ:
1

Часть 2

Модуль “Алгебра”

Решите уравнение

$x^2 - 3x + \sqrt{5 - x} = \sqrt{5 - x} + 18$

Показать решение

$x^2 - 3x + \sqrt{5 - x} = \sqrt{5 - x} + 18$

Перенесем выражение √5-x с правой стороны в левую

$x^2 - 3x + \sqrt{5 - x} - \sqrt{5 - x} = 18$

Сократим оба выражения √5-x

$x^2 - 3x = 18$

Перенесём 18 в левую часть уравнения

$x^2 - 3x - 18 = 0$

Перед нами обычное квадратное уравнение.

Область допустимых значений в данном случае составляет: 5 – х ≥ 0 ⇒ x ≤ 5

Для решения уравнения, необходимо найти дискриминант:

D = b² – 4ac

D = 9 + 72 = 81 = 9²

х₁ = (3 + 9)/2 = 12/2 = 6 – не является решением

х₂ = (3 – 9)/2 = -6/2 = -3

х = -3
Ответ:
-3

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 80 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 23 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 35 часов после отплытия из него.

Показать решение

Пусть

х – это собственная скорость теплохода, тогда

х + 5 – скорость теплохода по течению

х – 5 – скорость теплохода против течения

35 – 23 = 12 (ч) – время движения теплохода из пункта отправления в пункт назначения и обратно без учета стоянки

80 * 2 = 160 (км) – общее расстояние, пройденное теплоходом

Исходя из выше сказанного получим уравнение:

$\frac{80}{x+5} + \frac{80}{x-5} = 12$

приводим к общему знаменателю и решаем:

$\frac{80 (x-5)}{(x+5)(x-5)} + \frac{80(x+5)}{(x-5)(x+5)} = 12$

$80(x-5) + 80(x+5) = 12(x+5)(x-5)$

$80x + 80x = 12(x^2 -25)$

$160x = 12x^2 -300)$

$12x^2 - 160x - 300 = 0$

Для дальнейшего решения уравнения, необходимо найти дискриминант:

$D = 160^2 - 4 * 12 * (300) = 40 000 = 200^2$

$x = \frac{ 160 \pm 200 }{2 * 12 }$

$x = \frac{ 160 + 200 }{24}$

$x = \frac{360}{24}$

x=15

Собственная скорость теплохода составляет 15 км/ч
Ответ:
15

Постройте график функции

$y = \left\{ \begin{array}{crl} x^2 + 2x + 1 & x\ge-4,\\ -\frac {36}{x} &x<-4 \end{array}\$

и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком одну или две общие точки.

Показать решение

На рисунке выше изображены два графика, соответствующие представленным функциям:

y = x² + 2x + 1 (график, изображенный красной линией)

y = -36/x (график, изображенный синий линией)

Рассмотрим обе функции:

y=x²+2x+1 на промежутке [–4;+∞) – это квадратичная функция, графиком является парабола, а=1 > 0 – ветви направлены вверх. Если мы её сократим по формуле квадрата суммы двух чисел, то получим: у=(х+1)² – сдвиг графика влево на 1 единицу, что и видно из графика.
у=–36/х – это обратная пропорциональность, график гипербола, ветви расположены во 2 и 4 четвертях.

На графике хорошо видно, что прямая у=mимеет с графиком одну общую точку при m=0 и m> 9 и две общие точки при m=9, т.е. ответ: m=0 и m≥9, проверяем:
Одна общая точка в вершине параболы y = x² + 2x + 1

x₀ = -b/2a = -2/2 = -1

y₀ = -1² + 2(-1) + 1 = 1 – 2 + 1 = 0 ⇒ с = 0

Две общие точки при х = – 4 ; у = 9 ⇒ с = 9
Ответ:
0; [9;+∞)

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 18, а расстояние от центра окружности до хорд AB и CD равны соответсвенно 12 и 9.

Показать решение

Треугольники ∆АОВи ∆СОDявляютсяравнобедренными.

AK = BK = AB / 2 = 18 / 2 = 9

Отрезки ОК и ОМ являются высотами и медианами.

По теореме Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, имеем

OB²= OK²+ BK²

OB²= 12² + 9² = 144 + 81 = 225

OB = 15

Учитывая, что OB – это радиус, имеем:

OB = OA = OC = OD = 15

Из треугольника ∆СОМ по теореме Пифагора получаем:

CM² = OC² – OM²

CM² = 15² – 9² = 225 – 81 = 144

CM = 12

CD = CM * 2 = 12 * 2 = 24

Длина хорды CD равна 24.
Ответ:
24

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке О (или любая другая буква). Докажите, что площади треугольников ∆AOB и ∆COD равны

Показать решение

Пусть AD – нижнее основание трапеции, а BC – верхнее, тогда AD>BC.

Найдем площади треугольников ∆ABD и ∆DCA:

S ∆ABD = 1/2 AD ∙ h1

S ∆DCA = 1/2 AD ∙ h2

Учитывая, что величина основания AD и высота обоих треугольников одинаковые, заключаем, что площади этих треугольников равны:

S ∆ABD = S ∆DCA

Каждый из треугольников ∆ABD и ∆DCA состоят из двух других треугольников:

S ∆ABO + S ∆AOD = S ∆ABD (сумма площадей внутренних треугольников S ∆ABO и S ∆AOD равна площади треугольника S ∆ABD)

S ∆DCO + S ∆AOD = S ∆DCA (сумма площадей внутренних треугольников S ∆DCO и S ∆AOD равна площади треугольника S ∆DCA)

Если площади треугольников S ∆ABD и S ∆DCA равны, то и сумма площадей их внутренних треугольников также равны. Отсюда получаем,:

S ∆ABO + S ∆AOD = S ∆DCO + S ∆AOD

в данном равенстве с обеих сторон фигурирует один и тот же треугольник – S ∆AOD, что позволяет нам сократить его. Получаем следующее равенство:

S ∆ABO = S ∆DCO

Что и требовалось доказать.
Ответ:
S ∆ABO = S ∆DCO

На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD = 80, MD = 64, H – точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.

Показать решение

Для начала начертим треугольник и полуокружность, как сказано в условии задачи (рис.1).

Отметим точку пересечения окружности со стороной АС буквой F (рис.2)

BF – является высотой треугольника ∆ABC, так как для окружности ∠BFC – это вписанный угол, который опирается на дугу в 180° (BC – диаметр), следовательно:

∠BFC=180°/2=90°

Согласно теореме “о двух секущих”, имеем: AF * AC = AM * AK

Теперь рассмотрим хорду MK.

Отрезок BC – это перпендикуляр к отрезку MK, проходящий через центр окружности, следовательно BC – это серединный перпендикуляр.

Это значит, BC делит хорду MK пополам, т.е. MD = KD = 64 (см. условие задачи)

Рассмотрим треугольники ∆AHF и ∆ACD.

Угол ∠DAC для обоих треугольников является общим.

А углы ∠AFH и ∠ADC равны, кроме того – это прямые углы.

Следовательно, согласно первому признаку подобия треугольников, данные треугольники подобны.

Отсюда, по определению подобия, мы можем записать: AC / AH = AD / AF => AC * AF = AD * AH

Ранее мы рассматривали равенство (по теореме двух секущих) AF * AC = AM * AK, из которой получаем

AM * AK = AD * AH

AH = (AM * AK) / AD

Из рисунка находим:

AM = AD – MD = 80 – 64 = 16

AK = AD + KD = 80 + 64 =144

Отсюда:

AH = 16 * 144 / 80 = 2304 / 80 = 28,8

Ответ: AH = 28,8
Ответ:
28,8

ОГЭ по математике 2018. Вариант 2

ОГЭ по математике 9 класс 2018 года под редакцией И. В. Ященко – Вариант №2

Часть 1

Модуль “Алгебра”

Модуль “Геометрия”

Решение

Часть 2

Модуль “Алгебра”

Похожие посты

ОГЭ по математике 2019. ТТЗ Ященко. 38 вариантов. Вариант 10

ОГЭ по математике 2019. ТТЗ Ященко. 38 вариантов. Вариант 9

ОГЭ по математике 2019. ТТЗ Ященко. 38 вариантов. Вариант 8